Кіріспе
Жұқпалы ауруларға қолданылатын математикалық модельдің түрі
Бөлмелік модельдер – өте жалпылама модельдеу әдісі. Олар көбінесе жұқпалы аурулардың математикалық модельдеуіне қолданылады. Халық белгілі бір бөлмелерге (мысалы, S, I немесе R – сезімтал, жұқпалы, қалпына келген) бөлінеді. Адамдар бөлмелер арасында көше алады. Белгілердің реті әдетте бөлмелер арасындағы ағын схемасын көрсетеді; мысалы, SEIS – сезімтал, латентті, жұқпалы, содан кейін қайта сезімтал. Мұндай модельдердің бастауы 20 ғасырдың басына жатады, маңызды еңбектердің авторы – Росс (1916), Росс және Хадсон (1917), Кермак және Маккендрик (1927) және Кендалл (1956). Рид-Фрост моделі де қазіргі эпидемиологиялық модельдеу тәсілдерінің маңызды және көбінесе назардан тыс қалған алдағысы болды. Модельдер көбінесе қалыпты дифференциалдық теңдеулермен (детерминистік) жұмыс істейді, бірақ стохастикалық (көптеген мүмкіндіктерге ие) жүйемен де қолданылуы мүмкін, бұл көбірек нақтылықты қамтамасыз етеді, бірақ талдауды әлдеқайда күрделендіреді. Модельдер аурудың таралу жолын, жұқтырғандардың жалпы санын немесе эпидемияның ұзақтығын болжауға, сондай-ақ репродуктивтік сан сияқты әртүрлі эпидемиологиялық параметрлерді бағалауға тырысады. Мұндай модельдер түрлі қоғамдық денсаулық сақтау шараларының эпидемия нәтижесіне қалай әсер ететінін көрсетуге мүмкіндік береді, мысалы, белгілі бір халық арасында вакциналардың шектеулі санына рұхсат берудің ең тиімді тәсілі қандай екенін анықтауға болады.
Compartmental models are a very general modelling technique. They are often applied to the mathematical modelling of infectious diseases. The population is assigned to compartments with labels – for example, S, I, or R, (Susceptible, Infectious, or Recovered). People may progress between compartments. The order of the labels usually shows the flow patterns between the compartments; for example SEIS means susceptible, exposed, infectious, then susceptible again. The origin of such models is the early 20th century, with important works being that of Ross in 1916, Ross and Hudson in 1917, Kermack and McKendrick in 1927, and Kendall in 1956. The Reed–Frost model was also a significant and widely overlooked ancestor of modern epidemiological modelling approaches. The models are most often run with ordinary differential equations (which are deterministic), but can also be used with a stochastic (random) framework, which is more realistic but much more complicated to analyze. Models try to predict things such as how a disease spreads, or the total number infected, or the duration of an epidemic, and to estimate various epidemiological parameters such as the reproductive number. Such models can show how different public health interventions may affect the outcome of the epidemic, e. g., what the most efficient technique is for issuing a limited number of vaccines in a given population.
SIR моделі
SIR моделі ең қарапайым бөлімделген модельдердің бірі болып табылады және көптеген модельдер осы негізгі нысанның туындылары болып келеді. Модель үш бөлімнен тұрады:
S: сезімтал адамдардың саны. Сезімтал және жұқпалы адамдардың «жұқпалы байланысқа» түсуі кезінде, сезімтал адам ауруға шалдығып, жұқпалы бөлімге өтеді. I: жұқпалы адамдардың саны. Бұл – жұқтырған және сезімтал адамдарға жұқтыра алатын адамдар. R – алынған (иммундалған) немесе қайтыс болған адамдардың саны. Бұл – ауруға шалдыққан, аурудан жазылып, алынған бөлімге өткен немесе қайтыс болған адамдар. Жалпы халыққа шаққанда өлім-жітім саны мардымсыз деп есептеледі. Бұл бөлімді «жазылған» немесе «төзімді» деп те атауға болады. Бұл модель адамнан адамға жұғатын жұқпалы ауруларды болжау үшін тиімді, мысалы, қызылша, паротит және қызылша сияқты ауруларға шалдыққанда ұзаққа созылатын иммунитет қалыптасады. Бұл айнымалылар (S, I және R) белгілі бір уақытта әр бөлімдегі адамдардың санын көрсетеді. Сезімтал, жұқпалы және алынған адамдардың саны уақыт өте келе өзгеруі мүмкін екенін көрсету үшін (жалпы халық саны тұрақты болса да), біз нақты сандарды t (уақыт) функциясы ретінде жазамыз: S(t), I(t) және R(t). Нақты бір популяциядағы нақты бір ауру үшін осы функцияларды ықтимал жарылыстарды болжау және оларды бақылауға алу үшін анықтауға болады. I және R арасындағы ауысу жылдамдығы жұқпалы адамдардың санына пропорционалды деп есептеледі, яғни егер адам орташа мерзімге жұқпалы болса, онда Бұл сондай-ақ, жұқпалы күйдегі адамның өткізген уақыты экспоненциалды таралыммен кездейсоқ айнымалы екенін білдіреді. «Классикалық» SIR моделін I R ауысу жылдамдығы үшін күрделірек және шынайы таралымдарды пайдалану арқылы өзгертуге болады (мысалы, Эрланг таралымын). Егер жұқпалы бөлімнен алынбаса, SIR моделі өте қарапайым SI моделіне дейін төмендейді, ол логистикалық шешімге ие, онда әрбір адам ақырында жұғады.
S: The number of susceptible individuals. When a susceptible and an infectious individual come into "infectious contact", the susceptible individual contracts the disease and transitions to the infectious compartment. I: The number of infectious individuals. These are individuals who have been infected and are capable of infecting susceptible individuals. R for the number of removed (and immune) or deceased individuals. These are individuals who have been infected and have either recovered from the disease and entered the removed compartment, or died. It is assumed that the number of deaths is negligible with respect to the total population. This compartment may also be called "recovered" or "resistant". This model is reasonably predictive for infectious diseases that are transmitted from human to human, and where recovery confers lasting resistance, such as measles, mumps, and rubella. These variables (S, I, and R) represent the number of people in each compartment at a particular time. To represent that the number of susceptible, infectious, and removed individuals may vary over time (even if the total population size remains constant), we make the precise numbers a function of t (time): S(t), I(t), and R(t). For a specific disease in a specific population, these functions may be worked out in order to predict possible outbreaks and bring them under control.) Between I and R, the transition rate is assumed to be proportional to the number of infectious individuals which is If an individual is infectious for an average time period , then This is also equivalent to the assumption that the length of time spent by an individual in the infectious state is a random variable with an exponential distribution. The "classical" SIR model may be modified by using more complex and realistic distributions for the I R transition rate (e. g. the Erlang distribution). For the special case in which there is no removal from the infectious compartment , the SIR model reduces to a very simple SI model, which has a logistic solution, in which every individual eventually becomes infected.
Басқа бөлмелік үлгілер
SIR моделінің көптеген түрлері бар, оның ішінде туыс және өлім-жітімді қамтитын, емделгеннен кейін иммунитет қалыптаспайтын (SIS моделі), иммунитет тек қысқа мерзімге сақталатын (SIRS), адам жұқпалы болмайтын жасырын кезеңі бар (SEIS және SEIR) және иммунитетпен туған нәрестелерді ескеретін (MSIR) түрлері де бар. Бөлімделген модельдерді бірнеше тәуекел топтарын және тіпті бірнеше қоздырғыштың өзара әрекеттесуін модельдеу үшін де пайдалануға болады.
SIRD моделі
Жұқпалы ауруларға бейімделген, сауыққандар және қайтыс болғандар моделі сауыққандарды (яғни, аурудан аман қалған және иммунитеті қалыптасқан адамдарды) және қайтыс болғандарды ажыратады. Бұл модель келесі дифференциалдық теңдеулер жүйесін пайдаланады:
мұндағы - жұқтыру, қалпына келтіру және өлім-жітім жылдамдықтары, сәйкесінше.
SIRV моделі
Жұқпалы инфекцияларға бейімделген, сауыққан және вакцинацияланған модель – жұқпалы инфекцияларға бейімделген халықтың вакцинациясын ескеретін кеңейтілген SIR моделі. Бұл модель келесі дифференциалдық теңдеулер жүйесін қолданады:
мұндағы – жұқтыру, қалпына келтіру және вакцинация деңгейлері. Жартылай уақыт үшін бастапқы шарттар , , және тұрақты қатынастар мен модель шамамен шешілген. Бұл модель халықтың үлестері үшін келесі дифференциалдық теңдеулер жүйесін қолданады:
мұндағы – жұқтыру, вакцинация, қалпына келтіру және өлім-жітім деңгейлері. Жартылай уақыт үшін бастапқы шарттар , , және тұрақты қатынастар , , және модель шамамен шешілді, ал кейбір ерекше жағдайларда – функциялық түріне қарамастан, , және диффузия тұрақтылары. Осылайша, реакция-диффузия теңдеуі алынады. (Өлшемдік себептерге байланысты, қарапайым SIR моделімен салыстырғанда параметрді өзгерту қажет.) Бұл типтегі алғашқы модельдер Еуропадағы қара өлімнің таралуын модельдеу үшін қолданылған. Бұл модельдің кеңейтімдері, мысалы, әлеуметтік арақашықтық сияқты дәрілік емес шаралардың әсерін қосу үшін пайдаланылды.
Өзара әсерлесетін субпопуляция SEIR моделі
Әлеуметтік байланыстар, аурудың ауырлығы мен өлім-жітімі, сондай-ақ профилактикалық шаралардың тиімділігі өзара әрекеттесетін субпопуляциялар арасында, мысалы, егдеулер мен жастар арасында айтарлықтай ерекшеленуі мүмкін. Сондықтан, әр субтоп үшін өзара байланысты, өзара әрекеттесу байланыстары арқылы қосылған жеке SEIR модельдерін қолдануға болады. Бұл, вакциналарға қолжетімділік шектеулі болған кезде, вирус түрлерінің таралу кезеңінде пандемияны қысқартуға және ауру мен өлім-жітім көрсеткіштерін төмендетуге мүмкіндік береді.
Шеттердегі SIR моделі
SIR моделі әртүрлі желілерде зерттелді, байланыстың нақты түрін модельдеу үшін, бұл әдетте қажетті біртекті араласу шартынан өзгеше. Желідегі эпидемиялардың қарапайым моделінде, әрбір уақыт кезеңінде адамның жұқтырған көршілерінің әрқайсысынан жұқтыру ықтималдығы p болады, бұл Эрдос-Реньи кездейсоқ графиктеріндегі алып компоненттердің қалыптасуына ұқсас нәтижелерге әкеледі. [[Файл:SIR NumericalExample.png|thumb|right|АҚШ-тың Огайо штатындағы COVID-19 деректеріне (АҚШ CDC-ден) сандық SIR моделін қолдану мысалы. SIR және SIRV моделімен орнатылған нәтижелер көрсетілген. SIR моделі жеке толқынды модельдей алады, бірақ SIRSS сияқты күрделі модель бірнеше толқындарды жақсырақ модельдей алады.]
Вакцинация үлгісі
SIR үлгісі вакцинацияны модельдеу үшін өзгертілуі мүмкін. Әдетте, бұл вакцинацияланған адамдар тобын қоса отырып, SIR үлгісіне қосымша бөлімше енгізеді. Төменде мысалдар келтірілген.
Келесі буын әдісі
Есептеудің бір жолы – барлық мүмкін жұқтырған түрлер бойынша жаңа инфекциялардың күтілетін санын орташалау. Келесі буын әдісі – инфекциялардың бірден көп класы қатысқан кезде оны алудың жалпы әдісі. Бұл әдісті алғаш рет Дикманн және авторлар (1990) енгізді, оны жас немесе кеңістіктік құрылымы бар модельдер үшін де қолдануға болады. Осы тұрғыда, келесі буын матрицасының спектрлік радиусы негізгі көбею санын көрсетеді.
Жыныстық жолмен жұғатын ауруды қарастырайық. Басында, халықтың көп бөлігі сезімтал болса, бірақ инфекцияның бастамасы болған жағдайда, егер 1-ші жыныстың күтілетін саны болса және 2-ші жыныстың жұқтырған күтілетін саны болса, келесі буында қанша адам жұқтыратынын біле аламыз. Сондықтан келесі буын матрицасын былай жазуға болады: мұндағы әрбір элемент – 1-ші жынысты жұқтырған адамнан 2-ші жыныстың қанша инфекция жұқтыруының күтілетін саны, халықтың 1-ші жынысы толығымен сезімтал деп есептесек. Диагональдық элементтер нөлге тең, себебі бір жынысты адамдар бір-біріне ауру жұқтыра алмайды, бірақ мысалы, әрбір адам орташа есеппен адамға ауру жұқтыра алады. Демек, әрбір элемент – көбею саны, бірақ кім кімге жұқтырғаны ескеріледі. Егер буын арқылы бейнеленсе, онда келесі буын болады. Келесі буын матрицасының спектрлік радиусы – негізгі көбею саны, яғни, келесі буындағы әрбір жыныстың күтілетін санының геометриялық орташасы. Көбейту факторлары және бір-бірімен алмасатынын ескеріңіз, себебі жұқтырған адам 1-ші жыныстың жаңа иесіне өту үшін екінші жыныстың арқылы өтуі керек. Басқаша айтқанда, бір типке қайта оралу үшін екі буын қажет, және әр екі буын сайын сандар × еселенеді. Сондықтан, бір буынға шаққандағы орташа көбейту коэффициенті тең. – теріс емес матрица болғандықтан, оның бірегей, оң, нақты өзіндік мәні бар, ол қалғандарынан қатаң түрде үлкен.
The spectral radius of the next generation matrix is the basic reproduction number, , that is here, the geometric mean of the expected number of each gender in the next generation. Note that multiplication factors and alternate because, the infectious person has to ‘pass through’ a second gender before it can enter a new host of the first gender. In other words, it takes two generations to get back to the same type, and every two generations numbers are multiplied by ×. The average per generation multiplication factor is therefore Note that is a non negative matrix so it has single, unique, positive, real eigenvalue which is strictly greater than all the others.
Компоненттік модельдер үшін келесі буын матрицасы
Жұқпалы аурулардың математикалық модельдеуінде таралу динамикасы әдетте сызықтық емес қалыпты дифференциалдық теңдеулер (ОДТ) жиынтығы арқылы сипатталады. Сондықтан, әрқашан формасы келесідей жұптасқан теңдеулер болады, олар уақыт өте келе бөлімшедегі адамдардың саны қалай өзгеретінін көрсетеді. Мысалы, SIR модельінде, , , және Компартменттік модельдер аурусыз тепе-теңдікке (DFE) ие, яғни жұқтырған адамдардың санын нөлге теңегенде тепе-теңдік табу мүмкін. Басқаша айтқанда, әдетте, инфекциясыз тұрақты күй болады. Бұл шешім, әдетте, аурусыз тепе-теңдіктің жүйелік тепе-теңдік екенін қамтамасыз етеді. Ендемиялық тепе-теңдік деп аталатын тағы бір тұрақты нүкте бар, онда ауру толығымен жойылмайды және халық арасында қалады. Математикалық тұрғыдан алғанда, аурусыз тепе-теңдіктің тұрақтылығы үшін шекті мән болып табылады:
есептеу үшін бірінші қадам - аурусыз тепе-теңдік (DFE) төңірегінде сызылық жасау, бірақ жаңа инфекциялардың пайда болуын және инфекцияланған адамдар арасындағы күйдің өзгеруін сипаттайтын сызықтық емес ОДТ-ның инфекцияланған субжүйесі үшін. Эпидемиологиялық тұрғыдан алғанда, сызылық жасау инфекциялық адамның бастапқы таралу мүмкіндігін көрсетеді, егер бастапқы таралу кезінде сезімтал популяциядағы өзгеріс мардымсыз болса. ОДТ-ның сызықтық жүйесін әрқашан матрица арқылы сипаттауға болады. Келесі қадам - қазіргі ұрпаққа қолданғанда жұқтырған адамдардың келесі ұрпағын қамтамасыз ететін оң оператор құру. Ескеріңіз, бұл оператор (матрица) барлық бөлімшелерге емес, тек жұқтырған адамдардың санына жауапты. Бұл оператордың итерациясы гетерогенді популяцияда инфекцияның бастапқы прогрессиясын сипаттайды. Осы оператордың спектрлік радиусын бірлікпен салыстыру жұқтырған адамдардың ұрпақтары өсе ме, жоқ па, анықтауға көмектеседі. аурусыз тепе-теңдікке жақын инфекция таралу жылдамдығы мен инфекциялық кезеңнің орташа ұзақтығының көбейтіндісі ретінде жазылуы мүмкін. Ол эпидемияның ең жоғарғы және соңғы мөлшерін анықтау үшін қолданылады.
To calculate , the first step is to linearise around the disease free equilibrium (DFE), but for the infected subsystem of non linear ODEs which describe the production of new infections and changes in state among infected individuals. Epidemiologically, the linearisation reflects that characterizes the potential for initial spread of an infectious person in a naive population, assuming the change in the susceptible population is negligible during the initial spread. A linear system of ODEs can always be described by a matrix. So, the next step is to construct a linear positive operator that provides the next generation of infected people when applied to the present generation. Note that this operator (matrix) is responsible for the number of infected people, not all the compartments. Iteration of this operator describes the initial progression of infection within the heterogeneous population. So comparing the spectral radius of this operator to unity determines whether the generations of infected people grow or not. can be written as a product of the infection rate near the disease free equilibrium and average duration of infectiousness. It is used to find the peak and final size of an epidemic.
Тік беріліс
ЖИТС және В гепатиті сияқты кейбір аурулардың кезінде, жұқтырған ата-аналардан туған балалар жұқтырылған күйі тууы мүмкін. Бұл аурудың анадан балаға берілуі тік жолмен таралу деп аталады. Модельде инфекциялық санатқа қосымша мүшелердің келуін, инфекциялық топқа жаңа туғандардың бір бөлігін қосу арқылы қарастыруға болады.
Векторды беру
Адамнан адамға тікелей емес, мысалы, масалар арқылы тарайтын безгек сияқты аурулар, вектор арқылы жұғады. Мұндай жағдайларда инфекция адамнан жәндікке беріледі және эпидемиологиялық модельге екі түр де енгізілуі керек, бұл әдетте тікелей жұғу моделінен гөрі көп бөлімдерді талап етеді.