Введение

Свойство движущейся массы

Импульс в физике

В ньютоновской механике импульс (momentum, momenta или импульсы; точнее, линейный импульс или поступательный импульс) — это произведение массы и скорости объекта. Это векторная величина, характеризующаяся модулем и направлением. Если *m* — масса объекта, а *v* — его скорость (также векторная величина), то импульс объекта *p* (от латинского *pellere* — «толкать, приводить в движение») равен:

В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения импульса является килограмм-метр в секунду (кг⋅м/с), что размерно эквивалентно ньютон-секунде. Второй закон Ньютона утверждает, что скорость изменения импульса тела равна равнодействующей силе, действующей на него. Импульс зависит от системы отсчета, но в любой инерциальной системе он является сохраняющейся величиной, то есть, если замкнутая система не подвергается воздействию внешних сил, её общий линейный импульс не изменяется. Импульс также сохраняется в специальной теории относительности (с модифицированной формулой) и, в модифицированном виде, в электродинамике, квантовой механике, квантовой теории поля и общей теории относительности. Он является выражением одной из фундаментальных симметрий пространства и времени — симметрии переноса. Продвинутые формулировки классической механики, лагранжева и гамильтонова механика, позволяют выбирать системы координат, учитывающие симметрии и ограничения. В этих системах сохраняющейся величиной является обобщённый импульс, который, как правило, отличается от кинетического импульса, определённого выше. Понятие обобщённого импульса переносится в квантовую механику, где оно становится оператором, действующим на волновую функцию. Операторы импульса и координаты связаны соотношением неопределённостей Гейзенберга. В непрерывных системах, таких как электромагнитные поля, гидродинамика и деформируемые тела, можно определить плотность импульса, и непрерывная форма закона сохранения импульса приводит к уравнениям, таким как уравнения Навье — Стокса для жидкостей или уравнение Коши для деформируемых твёрдых тел или жидкостей.

Определение в классической механике

Импульс — векторная величина: он характеризуется как величиной, так и направлением. Так как импульс имеет направление, его можно использовать для предсказания результирующего направления и скорости движения объектов после столкновения. Ниже описаны основные свойства импульса в одном измерении. Векторные уравнения практически не отличаются от скалярных уравнений (см. раздел о многомерном пространстве).

Одиночная частица

Импульс частицы обычно обозначается буквой p. Он является произведением двух величин: массы частицы (обозначаемой буквой m) и её скорости (v):

Единица измерения импульса – это произведение единиц измерения массы и скорости. В системе СИ, если масса выражена в килограммах, а скорость – в метрах в секунду, то импульс выражается в килограммах-метрах в секунду (кг⋅м/с). В системе cgs, если масса выражена в граммах, а скорость – в сантиметрах в секунду, то импульс выражается в граммах-сантиметрах в секунду (г⋅см/с). Будучи векторной величиной, импульс имеет модуль и направление. Например, модель самолета массой 1 кг, движущаяся строго на север со скоростью 1 м/с по прямой и горизонтальной траектории, имеет импульс 1 кг⋅м/с, направленный на север, отсчитанный относительно земли.

Применение к столкновениям

Если две частицы, каждая из которых имеет известный импульс, сталкиваются и сливаются, закон сохранения импульса может быть использован для определения импульса образовавшегося тела. Если в результате столкновения частицы расходятся, то закона недостаточно для определения импульса каждой из них. Если импульс одной частицы после столкновения известен, закон можно использовать для определения импульса другой частицы. В качестве альтернативы, если известна суммарная кинетическая энергия после столкновения, закон можно использовать для определения импульса каждой частицы после столкновения. Кинетическая энергия обычно не сохраняется. Если она сохраняется, столкновение называется упругим; в противном случае – неупругим.

Эластичные столкновения

Эластичное столкновение – это столкновение, при котором кинетическая энергия не преобразуется в тепло или другие формы энергии. Совершенно эластичные столкновения могут происходить, когда объекты не соприкасаются, например, при атомном или ядерном рассеянии, где электрическое отталкивание удерживает объекты на расстоянии. Маневр космического аппарата с использованием гравитационного поля планеты также можно рассматривать как совершенно эластичное столкновение. Столкновение двух бильярдных шаров является хорошим примером почти полностью эластичного столкновения благодаря их высокой жёсткости, но при контакте тел всегда происходит некоторое рассеяние энергии. Лобное эластичное столкновение двух тел можно представить скоростями в одном измерении, вдоль линии, проходящей через эти тела. Если скорости до столкновения равны и , а после столкновения – и , то уравнения, выражающие законы сохранения импульса и кинетической энергии, имеют вид:

Переход в другую систему отсчёта может упростить анализ столкновения. Например, предположим, что есть два тела одинаковой массы m, одно из которых неподвижно, а другое приближается к нему со скоростью v (как показано на рисунке). Центр масс движется со скоростью , и оба тела движутся к нему со скоростью . В силу симметрии, после столкновения оба тела должны удаляться от центра масс с той же скоростью. Добавив к обеим скоростям скорость центра масс, мы обнаружим, что тело, которое двигалось, теперь остановилось, а другое удаляется со скоростью v. Тела поменялись своими скоростями. Независимо от начальных скоростей тел, переход в систему отсчёта центра масс приводит к тому же выводу. Следовательно, конечные скорости определяются следующим образом:

Если масса одного тела значительно больше массы другого, его скорость практически не изменится при столкновении, в то время как скорость другого тела претерпит существенное изменение.

Общее

Законы Ньютона бывает сложно применять ко многим видам движения, поскольку движение ограничено связями. Например, бусина на абаке вынуждена двигаться вдоль проволоки, а груз маятника – колебаться на фиксированном расстоянии от точки подвеса. Многие подобные связи можно учесть, переходя от обычных декартовых координат к набору обобщённых координат, которые могут быть меньше по числу. Для решения задач механики в обобщённых координатах разработаны более совершенные математические методы. Они вводят обобщённый импульс, также известный как канонический или сопряжённый импульс, который расширяет понятия линейного и углового импульсов. Чтобы отличать его от обобщённого импульса, произведение массы на скорость также называют механическим, кинетическим или кинематическим импульсом. Два основных метода описаны ниже.

Симметрия и сохранение

Сохранение импульса является математическим следствием однородности (симметрии сдвига) пространства (координата в пространстве является канонически сопряжённой величиной импульсу). Иными словами, сохранение импульса обусловлено тем, что законы физики не зависят от положения; это частный случай теоремы Нётер. Для систем, не обладающих этой симметрией, определение закона сохранения импульса может быть невозможно. Примеры, в которых сохранение импульса неприменимо, включают искривлённые пространства-времена в общей теории относительности или временные кристаллы в физике конденсированного состояния.

Частица в поле

В уравнениях Максвелла силы между частицами передаются посредством электрических и магнитных полей. Электромагнитная сила (сила Лоренца), действующая на частицу с зарядом q под воздействием комбинации электрического поля 'E' и магнитного поля 'B', равна

(в единицах СИ). У неё есть электрический потенциал и магнитный векторный потенциал. Это импульс, возникающий в результате взаимодействия частицы с электромагнитными полями. Название является аналогией с потенциальной энергией, которая представляет собой энергию, возникающую в результате взаимодействия частицы с электромагнитными полями. Эти величины образуют четырехвектор, что подтверждает состоятельность аналогии; кроме того, понятие потенциального импульса важно для объяснения так называемого скрытого импульса электромагнитных полей.

Сохранение

В ньютоновской механике закон сохранения импульса может быть выведен из закона действия и противодействия, который утверждает, что на каждую силу существует равная и противоположно направленная сила. Однако, при определенных обстоятельствах, движущиеся заряженные частицы могут оказывать друг на друга силы, не направленные в противоположные стороны. Тем не менее, общий импульс частиц и электромагнитного поля сохраняется.

Акустические волны

Воздействие в среде порождает колебания, или волны, распространяющиеся от источника. В жидкости малые изменения давления p часто могут быть описаны уравнением акустической волны:

где c – скорость звука. В твердом теле можно получить аналогичные уравнения для распространения продольных (P-волн) и поперечных (S-волн). Поток, или перенос на единицу площади, компоненты импульса, осуществляемый скоростью, равен. В линейном приближении, приводящем к вышеуказанному акустическому уравнению, среднее по времени значение этого потока равно нулю. Однако нелинейные эффекты могут приводить к ненулевому среднему значению. Возможно возникновение потока импульса, даже если сама волна не обладает средним импульсом.

Иоанн Филопон

Около 530 года н.э. Иоанн Филопон разработал концепцию импульса в трактате «О физике», являющемся комментарием к «Физике» Аристотеля. Аристотель утверждал, что всё, что находится в движении, должно постоянно поддерживаться в движении чем-то. Например, брошенный мяч должен продолжать двигаться благодаря движениям воздуха. Филопон указал на абсурдность утверждения Аристотеля о том, что движение объекта поддерживается тем же воздухом, который оказывает ему сопротивление. Вместо этого он предположил, что при броске объекту сообщается некий импульс.

Ибн Сина

В 1020 году Ибн Сина (также известный под латинизированным именем Авиценна) прочитал работы Филопона и изложил собственную теорию движения в "Книге исцеления". Он согласился с тем, что бросатель сообщает снаряду импульс, однако, в отличие от Филопона, который полагал, что это временное свойство, ослабевающее даже в вакууме, он считал импульс сохраняющимся, требующим внешних сил, таких как сопротивление воздуха, для его рассеяния.

Питер Оливи, Жан Бурдан

В XIII и XIV веках Пётр Оливи и Жан Буридан изучали и развивали работы Филопона, а также, возможно, труды Ибн Сины.

Рене Декарт

В «Началах философии» (Principia Philosophiae) 1644 года французский философ Рене Декарт определил «количество движения» (лат. quantitas motus) как произведение величины и скорости и утверждал, что общее количество движения во Вселенной сохраняется. Если x в два раза больше y по величине и движется вдвое медленнее, то количество движения в каждом из них будет одинаковым. Бог создал материю вместе с ее движением, и, просто позволяя вещам развиваться по законам природы, сохраняет то же количество движения, которое он вложил в нее изначально. Это не следует понимать как формулировку современного закона сохранения импульса, поскольку у Декарта не было понятия массы, отличного от веса и размера. (Понятие массы, отличное от веса, было введено Ньютоном в 1686 году.) Более того, он полагал, что сохраняется именно скорость, а не скорость с направлением. Таким образом, по мнению Декарта, если движущийся объект отскочит от поверхности, изменив направление, но не скорость, количество его движения не изменится. Галилей в своем труде «Две новые науки» (опубликованном в 1638 году) использовал итальянское слово impeto для аналогичного описания количества движения, предложенного Декартом.

Кристиан Хюйгенс

В 1600-х годах Кристиан Гюйгенс довольно рано пришел к выводу, что законы Декарта об упругом столкновении двух тел ошибочны, и он сформулировал верные законы. Важным шагом стало его понимание галилеевой инвариантности задач. Распространению его идей потребовалось много лет. Он лично передал их Уильяму Брункеру и Кристоферу Рену в Лондоне в 1661 году. Письмо Спинозы Генри Олденбургу об этих идеях в 1666 году, во время Второй англо-голландской войны, было осторожным. Фактически, Гюйгенс разработал эти идеи в рукописи «De motu corporum ex percussione» в период с 1652 по 1656 год. Война завершилась в 1667 году, и Гюйгенс представил свои результаты Королевскому обществу в 1668 году. Он опубликовал их в «Journal des sçavans» в 1669 году.

Джон Уоллис

В 1670 году Джон Уоллис в трактате "Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus" сформулировал закон сохранения количества движения: "исходное состояние тела, будь то покой или движение, сохранится" и "Если действующая сила превышает сопротивление, возникнет движение". Уоллис использовал термин "количество движения" для обозначения импульса, а "вис" – для силы.

Готфрид Лейбниц

В 1686 году Готфрид Вильгельм Лейбниц в "Рассуждении о метафизике" привел аргумент против построения Декарта, касающегося сохранения "количества движения", используя пример падения блоков различного размера с разной высоты. Он отмечает, что сила сохраняется, а вот количество движения, понимаемое как произведение массы и скорости объекта, не сохраняется.

Исаак Ньютон

В 1687 году Исаак Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica), как и Уоллис, продемонстрировал схожий поиск подходящих терминов для обозначения математического импульса. В определении II он определяет *quantitas motus* – «количество движения» – как «возникающее из скорости и количества материи, взятых вместе», тем самым отождествляя его с импульсом. Следовательно, когда во втором законе он упоминает *mutatio motus* – «изменение движения» – как пропорциональное приложенной силе, обычно подразумевается импульс, а не само движение.