Введение

Математическая теорема
В математике формула следов Сельберга, введенная , является выражением для характера унитарного представления группы Ли G на пространстве L²(Γ\G) квадратично интегрируемых функций, где Γ — кофинитная дискретная группа. Характер задается следом определенных функций на G.

Простейший случай наступает, когда Γ кокомпактна, и представление распадается на дискретные слагаемые. В этом случае формула следов является обобщением формулы Фробениуса для характера индуцированного представления конечных групп. Когда Γ является кокомпактной подгруппой Z множества действительных чисел R, формула следов Сельберга по существу совпадает с формулой суммирования Пуассона. Случай, когда Γ\G не компактна, сложнее, поскольку существует непрерывный спектр, описываемый с помощью рядов Эйзенштейна. Сельберг исследовал некомпактный случай, когда G — группа SL(2, R); обобщение на группы более высокого ранга — формула следов Артура — Сельберга. Когда Γ является фундаментальной группой поверхности Римана, формула следов Сельберга описывает спектр дифференциальных операторов, таких как лапласиан, в терминах геометрических данных, включающих длины геодезических на поверхности Римана. В этом случае формула следов Сельберга формально аналогична явным формулам, связывающим нули дзета-функции Римана с простыми числами, где нули дзета-функции соответствуют собственным значениям лапласиана, а простые числа — геодезическим. Под влиянием этой аналогии Сельберг ввел дзета-функцию Сельберга поверхности Римана, аналитические свойства которой кодируются формулой следов Сельберга.

Ранняя история

Особый интерес представляют случаи, когда пространство является компактной поверхностью Римана S. Первоначальная публикация Атле Селберга в 1956 году была посвящена этому случаю, его лапласиану и его степеням. Следы степеней лапласиана можно использовать для определения дзета-функции Сельберга. Интерес к этому случаю был обусловлен аналогией между полученной формулой и явными формулами теории простых чисел. В этом контексте замкнутые геодезические на S играют роль простых чисел. Одновременно, интерес к следам операторов Гекке был связан с формулой следов Эйхлера — Сельберга, разработанной Сельбергом и Мартином Эйхлером, для оператора Гекке, действующего на векторном пространстве куспидальных форм заданного веса для заданной конгруэнтной подгруппы модулярной группы. Здесь след оператора тождества равен размерности векторного пространства, то есть размерности пространства модулярных форм данного типа – величине, традиционно вычисляемой с помощью теоремы Римана — Роха.

Приложения

Формула следа находит применение в арифметической геометрии и теории чисел. Например, используя теорему о следе, Эйхлер и Шимура вычислили L-функции Хассе — Вейль, связанные с модулярными кривыми; методы Горо Шимуры позволили обойти анализ, связанный с формулой следа. Развитие параболической кохомологии (выросшей из кохомологии Эйхлера) предоставило чисто алгебраическую структуру, основанную на кохомологии групп, учитывающую куспиды, характерные для некомпактных поверхностей Римана и модулярных кривых. Формула следа также имеет чисто дифференциально-геометрические применения. Например, согласно результату Бузера, спектр длин поверхности Римана является изоспектральным инвариантом, что по сути следует из формулы следа.

Поздние работы

Общая теория рядов Эйзенштейна во многом была мотивирована необходимостью выделения непрерывного спектра, характерного для некомпактного случая. Формула следа часто приводится для алгебраических групп над аделями, а не для групп Ли, поскольку это превращает соответствующую дискретную подгруппу Γ в алгебраическую группу над полем, с которым технически проще работать. Случай SL2(C) рассматривается в [здесь будет ссылка], а Gel'fand et al. также изучают SL2(F), где F – локально компактное топологическое поле с ультраметрической нормой, то есть конечное расширение p-адических чисел Qp или формального ряда Лорана Fq((T)); они также рассматривают аделический случай в характеристике 0, объединяя все завершения R и Qp рациональных чисел Q. Современными продолжениями теории являются формула следа Артура — Сельберга, применимая к общему полупростому G, и многочисленные исследования формулы следа в рамках философии Лэнглендса (касающиеся технических вопросов, таких как эндоскопия). Формулу следа Сельберга можно вывести из формулы следа Артура — Сельберга с определенными усилиями.