Кіріспе

Математикалық теорема
Математикада Сельбергтің із формуласы – бұл Γ кофинитті дискретті топ болғанда, L^(2)(Γ\G) кеңістігіндегі G тобының унитарлық өкілдігінің сипаттамасы үшін қолданылатын өрнек, мұндағы Γ – шекті дискретті топ. Сипаттама G-дегі белгілі бір функциялардың іздері арқылы беріледі.

Ең қарапайым жағдай – Γ кокомпактты болғанда, яғни өкілдік дискретті қосындыларға бөлінетін кезде. Бұл жағдайда із формуласы – шекті топтардың индукциялық өкілдігінің сипаттамасы үшін Фробенус формуласының жалғасы болып табылады. Егер Γ нақты сандардың Z кокомпактты кіші тобы болса, Сельбергтің із формуласы негізінен Пуассонның қосынды формуласы болып табылады. Γ\G тығыз емес жағдайы қиын, себебі үздіксіз спектр бар, ол Айзенштейн қатарларын қолдану арқылы сипатталады. Сельберг G тобы SL(2, R) болғандағы тығыз емес жағдайды есептеп шығарды; жоғары дәрежелі топтарға кеңейту – Артур–Сельберг із формуласы. Егер Γ Риман бетінің негізгі тобы болса, Сельбергтің із формуласы Риман бетіндегі геодезиялықтардың ұзындығын қамтитын геометриялық деректер тұрғысынан Лаплас сияқты дифференциалды операторлардың спектрін сипаттайды. Бұл жағдайда Сельбергтің із формуласы Риман зета функциясының нөлдерін жай сандармен байланыстыратын нақты формулаларға формальды түрде ұқсас, зета нөлдері Лапластың өзіндік мәндеріне, ал жай сандар геодезиялықтарға сәйкес келеді. Осы аналогияға сүйене отырып, Сельберг Риман бетінің Сельберг зета функциясын енгізді, оның аналитикалық қасиеттері Сельбергтің із формуласымен кодталған.

Ерте тарих

Ерекше қызығушылық тудыратын жағдайлар кеңістік компактты Риман беті S болғандағы жағдайлар. 1956 жылы Атле Селбергтің алғашқы жарияланым жұмысы осы жағдайды, оның Лаплас дифференциалдық операторын және оның дәрежелерін қарастырды. Лапласиан дәрежелерінің іздері Селберг зета-функциясын анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Бұл жағдайдың маңыздылығы алынған формула мен жай сандар теориясының ашық формулалары арасындағы аналогияда болды. Мұнда S-тегі жабық геодезиялар жай сандардың орнында тұрады. Сонымен қатар, Хекке операторларының іздеріне деген қызығушылық Селберг пен Мартин Эйхлердің Хекке операторы модульдік топтың берілген конгруэнттік кіші тобындағы куспидтік формалардың векторлық кеңістігінде әрекет ететін Эйхлер-Селберг із формуласымен байланысты болды. Мұнда бірлік операторының іздері векторлық кеңістіктің өлшемдерін, яғни берілген типтегі модульдік формалар кеңістігінің өлшемдерін құрайды: бұл шама дәстүрлі түрде Риман-Рох теоремасы арқылы есептеледі.

Қолданбалар

Трек формуласы арифметикалық геометрия және сандар теориясында қолданылады. Мысалы, із теоремасын қолданып, Эйхлер мен Шимура модульдік қисықтарға қатысты Хассе-Вейль L функцияларын есептеп шығарды; Горо Шимураның әдістері трек формуласындағы талдауды айналып өтті. Параболалық когомологияның (Эйхлер когомологиясынан дамыған) дамуы, топтық когомологияға негізделген таза алгебралық ортаны қамтамасыз етті, бұл компакт емес Риман беттері мен модульдік қисықтарға тән cuspтарды ескере отырып жасалды. Трек формуласының таза дифференциалдық-геометриялық қолданылуы да бар. Мысалы, Бузердің нәтижесі бойынша, Риман бетінің ұзындық спектрі, негізінен трек формуласы арқылы, изоспектрлік инвариант болып табылады.

Кейінгі жұмыстар

Айзенштейн тізбектерінің жалпы теориясы көбінесе тығыз емес жағдайға тән үздіксіз спектрді бөліп шығару қажеттілігімен туындады. Трейс формуласы көбінесе Ли тобына қарағанда адельдердегі алгебралық топтар үшін беріледі, себебі бұл сәйкес дискретті топ Γ-ны өрістегі алгебралық топқа айналдырады, ол техникалық тұрғыдан жұмыс істеуге ыңғайлы. SL2(C) жағдайы талқыланады, ал Гельфанд және авторлар SL2(F)-ті де қарастырады, мұнда F – ультраметрлік нормасы бар жергілікті ықшам топологиялық өріс, яғни p-ади сандары Qp немесе формальді Лоран тізбегі Fq((T))-нің шекті кеңейтімі; олар сондай-ақ 0 сипаттамасындағы адельдік жағдайды да қарастырады, бұл рационал сандар Q-ның барлық толықтыруларын R және Qp біріктіреді. Теорияның қазіргі кездегі жалғастырушылары – жалпы жартылай жай G жағдайына қолданылатын Артур-Сельберг трейс формуласы және Лэнгленд философиясындағы трейс формуласының көптеген зерттеулері (эндоскопия сияқты техникалық мәселелерді қарастырады). Сельберг трейс формуласын Артур-Сельберг трейс формуласынан белгілі бір күш-жігермен шығаруға болады.