Введение

Область математики, используемая для описания поведения сложных динамических систем.

Теория динамических систем – это область математики, используемая для описания поведения сложных динамических систем, как правило, с помощью дифференциальных или разностных уравнений. Если используются дифференциальные уравнения, теория называется теорией непрерывных динамических систем. С физической точки зрения, теория непрерывных динамических систем является обобщением классической механики, обобщением, в котором уравнения движения постулируются непосредственно и не ограничиваются уравнениями Эйлера — Лагранжа, основанными на принципе наименьшего действия. Если используются разностные уравнения, теория называется теорией дискретных динамических систем. Если переменная времени изменяется на множестве, которое дискретно на некоторых интервалах и непрерывно на других, или является произвольным множеством времен, например, множеством Кантора, то получаются динамические уравнения на временных масштабах. Некоторые ситуации также могут быть смоделированы с помощью смешанных операторов, таких как дифференциально-разностные уравнения. Эта теория изучает долгосрочное качественное поведение динамических систем, природу и, по возможности, решения уравнений движения систем, которые часто имеют преимущественно механическую или иную физическую природу, например, планетарные орбиты и поведение электронных схем, а также системы, возникающие в биологии, экономике и других областях. Значительная часть современных исследований сосредоточена на изучении хаотических и странных систем. Эта область исследования также называется просто динамическими системами, математической теорией динамических систем или математической теорией динамических систем.

Обзор

Теория динамических систем и теория хаоса изучают долгосрочное качественное поведение динамических систем. Здесь акцент делается не на поиске точных решений уравнений, определяющих динамическую систему (что часто невозможно), а скорее на ответах на вопросы, такие как: "Устремится ли система к устойчивому состоянию в долгосрочной перспективе, и если да, то какими могут быть эти устойчивые состояния?", или "Зависит ли долгосрочное поведение системы от её начальных условий?". Важной задачей является описание фиксированных точек, или стационарных состояний, данной динамической системы – это значения переменной, которые не изменяются со временем. Некоторые из этих фиксированных точек являются притягивающими, то есть, если система начинает движение из близкой точки, она стремится к этой фиксированной точке. Аналогично, представляют интерес периодические точки – состояния системы, которые повторяются через определенные интервалы времени. Периодические точки также могут быть притягивающими. Теорема Шарковского представляет собой интересное утверждение о количестве периодических точек одномерной дискретной динамической системы. Даже простые нелинейные динамические системы часто демонстрируют кажущееся случайным поведение, которое называют хаосом. Раздел динамических систем, занимающийся строгим определением и исследованием хаоса, называется теорией хаоса.

История

Концепция теории динамических систем берет свое начало в ньютоновской механике. Там, как и в других естественных науках и инженерных дисциплинах, правило эволюции динамической системы задается неявно соотношением, определяющим состояние системы лишь на короткий промежуток времени в будущем. До появления быстрых вычислительных машин решение динамической системы требовало сложных математических техник и было возможно лишь для ограниченного класса динамических систем. Среди выдающихся изложений математической теории динамических систем можно выделить , , , и .

Динамические системы

Концепция динамической системы – это математическая формализация любого фиксированного "правила", описывающего изменение положения точки во времени в окружающем пространстве. Примерами служат математические модели, описывающие колебания маятника часов, течение воды в трубе и численность рыб в озере каждую весну. Динамическая система характеризуется состоянием, определяемым набором действительных чисел или, в более общем случае, множеством точек в соответствующем пространстве состояний. Небольшие изменения в состоянии системы соответствуют небольшим изменениям этих чисел, которые также являются координатами геометрического пространства – многообразия. Правило эволюции динамической системы – это фиксированное правило, определяющее, какие будущие состояния следуют из текущего состояния. Это правило может быть детерминированным (для заданного интервала времени будущее состояние может быть точно предсказано на основе текущего состояния) или стохастическим (эволюция состояния может быть предсказана лишь с определенной вероятностью).

Динамизм

Динамицизм, также называемый динамической гипотезой или динамической когницией, – это новый подход в когнитивной науке, ярким примером которого является работа философа Тима ван Гелдера. Он утверждает, что дифференциальные уравнения лучше подходят для моделирования когнитивных процессов, чем традиционные компьютерные модели.

Нелинейная система

В математике нелинейная система – это система, которая не является линейной, то есть система, не удовлетворяющая принципу суперпозиции. Если говорить менее формально, нелинейная система – это любая задача, в которой искомые переменные нельзя представить в виде линейной комбинации независимых составляющих. Неоднородная система, которая линейна за исключением наличия функции от независимых переменных, является нелинейной согласно строгому определению, однако такие системы обычно изучаются вместе с линейными, поскольку их можно привести к линейной системе, если известно частное решение.

Арифметическая динамика

Арифметическая динамика — это область математики, возникшая в 1990-х годах, объединяющая два направления: динамические системы и теорию чисел. В классическом понимании, дискретная динамика изучает итерации отображений самих на себя комплексной плоскости или вещественной прямой. Арифметическая динамика исследует свойства целых, рациональных, p-адических и/или алгебраических точек в теории чисел при многократном применении полинома или рациональной функции.

Теория хаоса

Теория хаоса описывает поведение определенных динамических систем – то есть систем, состояние которых изменяется во времени, – которые могут демонстрировать высокую чувствительность к начальным условиям (обычно называемую эффектом бабочки). Вследствие этой чувствительности, проявляющейся в экспоненциальном росте отклонений от начальных условий, поведение хаотических систем кажется случайным. Это происходит даже при том, что эти системы детерминированы, то есть их будущая динамика полностью определяется начальными условиями и не содержит случайных элементов. Такое поведение известно как детерминированный хаос, или просто хаос.

Комплексные системы

Комплексные системы – это научная область, изучающая общие свойства систем, которые признаются сложными в природе, обществе и науке. Она также известна как теория сложных систем, наука о сложности, исследование сложных систем или науки о сложности. Ключевыми проблемами таких систем являются трудности с их формальным моделированием и симуляцией. В зависимости от исследовательского контекста, сложные системы определяются на основе различных их характеристик. Изучение сложных систем вносит новый импульс во многие области науки, где традиционная редукционистская стратегия оказалась недостаточной. Поэтому комплексные системы часто используются как широкий термин, объединяющий исследовательский подход к проблемам в самых разных дисциплинах, включая нейронауки, социальные науки, метеорологию, химию, физику, информатику, психологию, искусственную жизнь, эволюционные вычисления, экономику, прогнозирование землетрясений, молекулярную биологию и изучение природы живых клеток.

Теория управления

Теория управления — это междисциплинарная область инженерии и математики, изучающая, в частности, воздействие на поведение динамических систем.

Эргодическая теория

Эргодическая теория — это раздел математики, изучающий динамические системы с инвариантной мерой и связанные с ними проблемы. Первоначальное развитие этой теории было обусловлено задачами статистической физики.

Функциональный анализ

Функциональный анализ — это раздел математики, и в частности анализа, посвященный изучению векторных пространств и операторов, действующих в них. Его исторические корни уходят в изучение функциональных пространств, особенно преобразований функций, таких как преобразование Фурье, а также в исследование дифференциальных и интегральных уравнений. Такое употребление слова «функциональный» восходит к вариационному исчислению, подразумевая функцию, аргументом которой является другая функция. Общее использование этого термина связывают с математиком и физиком Вито Вольтеррой, а его основание в значительной степени приписывается математику Стефану Банаху.

Динамические системы графов

Концепция графовых динамических систем (GDS) может быть использована для описания широкого спектра процессов, происходящих на графах или сетях. Важной темой математического и вычислительного анализа графовых динамических систем является установление связи между их структурными свойствами (например, связностью сети) и результирующей глобальной динамикой.

Проектируемые динамические системы

Проектируемые динамические системы – это математическая теория, изучающая поведение динамических систем, решения которых ограничены областью допустимых значений. Эта дисциплина связана и имеет применение как в статической области оптимизации и задач нахождения равновесия, так и в динамической области обыкновенных дифференциальных уравнений. Проектируемая динамическая система задается потоком, соответствующим проектируемому дифференциальному уравнению.

Символическая динамика

Символическая динамика — это метод моделирования топологической или гладкой динамической системы дискретным пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы, а динамика (эволюция) определяется оператором сдвига.

Динамика системы

Системная динамика – это подход к пониманию поведения систем во времени. Она рассматривает внутренние контуры обратной связи и временные задержки, влияющие на поведение и состояние всей системы. Отличие системной динамики от других подходов к изучению систем заключается в языке, используемом для описания контуров обратной связи посредством запасов и потоков. Эти элементы позволяют описать, как даже на первый взгляд простые системы проявляют сложную нелинейность.

Топологическая динамика

Топологическая динамика — это раздел теории динамических систем, в котором изучаются качественные, асимптотические свойства динамических систем с использованием методов общей топологии.

В биомеханике

В спортивной биомеханике теория динамических систем стала в науках о движении перспективной основой для моделирования спортивных результатов и эффективности. С точки зрения теории динамических систем, система движений человека представляет собой сложную сеть взаимозависимых подсистем (например, дыхательной, кровеносной, нервной, скелетно-мышечной, перцептивной), состоящих из большого числа взаимодействующих компонентов (например, клеток крови, молекул кислорода, мышечной ткани, метаболических ферментов, соединительной ткани и костей). В теории динамических систем, паттерны движений возникают в результате универсальных процессов самоорганизации, наблюдаемых в физических и биологических системах. Ни одно из положений, связанных с концептуальным применением данной основы, не имеет научной валидации.

В когнитивной науке

Теория динамических систем находит применение в области нейробиологии и когнитивного развития, особенно в неопиажетианских теориях когнитивного развития. Существует убеждение, что когнитивное развитие лучше всего описывается физическими теориями, а не теориями, основанными на синтаксисе и искусственном интеллекте. Также считается, что дифференциальные уравнения являются наиболее подходящим инструментом для моделирования человеческого поведения. Эти уравнения интерпретируются как отражение когнитивной траектории агента в пространстве состояний. Иными словами, сторонники теории динамических систем утверждают, что психология должна быть (или является) описанием (с помощью дифференциальных уравнений) познавательных процессов и поведения агента под воздействием определенных внешних и внутренних факторов. Часто используется и язык теории хаоса, в котором разум обучающегося достигает состояния неустойчивости, когда старые паттерны разрушаются. Это фазовый переход в когнитивном развитии. Самоорганизация (спонтанное создание когерентных структур) запускается, когда уровни активности связываются друг с другом. Новые макро- и микроскопические структуры поддерживают друг друга, ускоряя процесс. Эти связи формируют структуру нового состояния порядка в уме посредством процесса, называемого скаллопированием (повторяющееся построение и разрушение сложных действий). Это новое состояние является прогрессивным, дискретным, индивидуальным и непредсказуемым. Теория динамических систем недавно была использована для объяснения давней нерешенной проблемы в развитии ребенка, известной как ошибка «А не Б». Более того, с середины 1990-х годов когнитивная наука, ориентированная на системно-теоретический коннексионизм, все чаще использует методы (нелинейной) «теории динамических систем» (DST). Различные нейросимволические когнитивные нейроархитектуры в современном коннективизме, учитывая их математическое структурное ядро, могут быть классифицированы как (нелинейные) динамические системы. Эти попытки в нейрокогниции объединить коннектионистские когнитивные нейроархитектуры с DST исходят не только из нейроинформатики и коннексионизма, но и, в последнее время, из психологии развития («Динамическая теория поля» (DFT)) и из «эволюционной робототехники» и «развивающей робототехники» в связи с математическим методом «эволюционных вычислений» (EC). Подробный обзор см. у Maurer.

В развитии второго языка

Применение теории динамических систем к изучению усвоения второго языка связывают с Дайаной Ларсен-Фриман, опубликовавшей в 1997 году статью, в которой она утверждала, что усвоение второго языка следует рассматривать как процесс развития, включающий в себя как овладение языком, так и его утрату. В своей статье она утверждала, что язык следует рассматривать как динамическую систему, которая является динамичной, сложной, нелинейной, хаотичной, непредсказуемой, чувствительной к исходным условиям, открытой, самоорганизующейся, чувствительной к обратной связи и адаптивной.