Введение
Тип статистической меры по подмножествам набора данных.
В статистике скользящее среднее (также известное как движущееся среднее, бегущее среднее или среднее) — это вычисление, используемое для анализа точек данных путем создания серии средних значений из различных выборок полного набора данных. Существуют различные варианты: простые, кумулятивные или взвешенные формы. Математически скользящее среднее является типом свертки. Таким образом, в обработке сигналов оно рассматривается как фильтр нижних частот с конечным импульсным откликом. Поскольку функция прямоугольного окна определяет коэффициенты фильтра, оно называется прямоугольным фильтром. Иногда за ним следует понижающая дискретизация. Для ряда чисел и фиксированного размера подмножества первый элемент скользящего среднего получается путем вычисления среднего значения начального фиксированного подмножества этого ряда. Затем подмножество изменяется путем "сдвига" – исключения первого числа из ряда и включения следующего значения в подмножество. Скользящее среднее часто используется с данными временных рядов для сглаживания краткосрочных колебаний и выявления долгосрочных тенденций или циклов. Граница между краткосрочным и долгосрочным периодами зависит от конкретной задачи, и параметры скользящего среднего устанавливаются соответствующим образом. Оно также используется в экономике для анализа валового внутреннего продукта, занятости или других макроэкономических временных рядов. При использовании с данными, не относящимися к временным рядам, скользящее среднее фильтрует высокочастотные компоненты без прямой связи со временем, хотя обычно подразумевается определенный порядок. В упрощенном виде его можно рассматривать как способ сглаживания данных.
Простая скользящая средняя
В финансовых приложениях простая скользящая средняя (SMA) представляет собой не взвешенное среднее из предыдущих точек данных. Однако в науке и инженерии среднее значение обычно вычисляется на основе равного количества данных с обеих сторон от центральной точки. Это обеспечивает согласованность изменений среднего значения с изменениями в данных, а не их сдвиг во времени. Примером простой равновешенной скользящей средней является среднее значение последних элементов набора данных, содержащего элементов. Пусть эти точки данных будут . Это могут быть, например, цены закрытия акций. Среднее значение за последние элемента (дней в данном примере) обозначается как и вычисляется следующим образом:
При вычислении следующего среднего значения с той же шириной выборки рассматривается диапазон от до . Новое значение входит в сумму, а самое старое значение исключается. Это упрощает вычисления за счет повторного использования предыдущего среднего значения . Это означает, что фильтр скользящей средней может быть достаточно эффективно вычислен для данных в реальном времени с использованием FIFO/циклического буфера и всего 3 арифметических операций. Во время первоначального заполнения FIFO/циклического буфера окно выборки равно размеру набора данных, таким образом, и расчет среднего значения выполняется как кумулятивная скользящая средняя. Выбранный период зависит от типа интересующего движения, например, краткосрочного, среднесрочного или долгосрочного. Если используемые данные не центрированы относительно среднего значения, простая скользящая средняя отстает от последнего значения на половину ширины выборки. На SMA также может непропорционально сильно влиять исключение старых данных или добавление новых данных. Одной из характеристик SMA является то, что если данные имеют периодические колебания, то применение SMA с периодом, соответствующим этим колебаниям, устранит эти изменения (среднее значение всегда будет содержать один полный цикл). Однако совершенно регулярные циклы встречаются редко. Для ряда приложений желательно избегать сдвига, вызванного использованием только "прошлых" данных. Поэтому можно вычислить центральную скользящую среднюю, используя данные, равномерно расположенные по обе стороны от точки в ряду, для которой вычисляется среднее значение. Для этого необходимо использовать нечетное количество точек в окне выборки. Основным недостатком SMA является то, что она пропускает значительную часть сигнала, длина которого меньше длины окна. Более того, она фактически инвертирует его. Это может привести к неожиданным артефактам, например, пикам в сглаженном результате, появляющимся там, где в данных были провалы. Это также приводит к тому, что результат получается менее гладким, чем ожидалось, поскольку некоторые высокочастотные компоненты не удаляются должным образом. Ее частотная характеристика представляет собой тип фильтра нижних частот, называемый sinc-функцией в частотной области.
This means that the moving average filter can be computed quite cheaply on real time data with a FIFO / circular buffer and only 3 arithmetic steps. During the initial filling of the FIFO / circular buffer the sampling window is equal to the data set size thus and the average calculation is performed as a cumulative moving average. The period selected depends on the type of movement of interest, such as short, intermediate, or long term. If the data used are not centered around the mean, a simple moving average lags behind the latest datum by half the sample width. An SMA can also be disproportionately influenced by old data dropping out or new data coming in. One characteristic of the SMA is that if the data has a periodic fluctuation, then applying an SMA of that period will eliminate that variation (the average always containing one complete cycle). But a perfectly regular cycle is rarely encountered. For a number of applications, it is advantageous to avoid the shifting induced by using only "past" data. Hence a central moving average can be computed, using data equally spaced on either side of the point in the series where the mean is calculated. This requires using an odd number of points in the sample window. A major drawback of the SMA is that it lets through a significant amount of the signal shorter than the window length. Worse, it actually inverts it. This can lead to unexpected artifacts, such as peaks in the smoothed result appearing where there were troughs in the data. It also leads to the result being less smooth than expected since some of the higher frequencies are not properly removed. Its frequency response is a type of low pass filter called sinc in frequency.
Взвешенная скользящая средняя
Средневзвешенная величина – это средняя, использующая множители для придания различного веса данным в разных позициях в окне выборки. Математически, взвешенная скользящая средняя представляет собой свёртку данных с фиксированной весовой функцией. Одно из применений – устранение пикселизации в цифровом графическом изображении. В финансовой сфере, и особенно при анализе финансовых данных, взвешенная скользящая средняя (ВСС) имеет конкретное значение: веса уменьшаются в арифметической прогрессии. В ВСС за n дней последний день имеет вес n, предпоследний – n-1 и так далее до единицы. Знаменатель равен треугольному числу, которое равно В более общем случае знаменатель всегда равен сумме отдельных весов. При вычислении ВСС для последовательных значений разница между числителями и равна Если мы обозначим сумму через , то
График справа показывает, как веса уменьшаются: от максимального веса для самых свежих данных до нуля. Его можно сравнить с весами в экспоненциальной скользящей средней, которая приведена ниже.
Экспоненциальная скользящая средняя
Экспоненциальная скользящая средняя (EMA), также известная как экспоненциально взвешенная скользящая средняя (EWMA), является фильтром первого порядка с бесконечной импульсной характеристикой, применяющим весовые коэффициенты, убывающие экспоненциально. Вес каждого более раннего значения данных уменьшается экспоненциально, но никогда не достигает нуля. Данная формулировка соответствует работе Хантера (1986).
Другие веса
Иногда используются другие системы взвешивания. Например, в торговле акциями взвешивание по объему будет учитывать каждый период времени пропорционально объему торгов в этот период. Другим видом взвешивания, используемым актуариями, является 15-точечная скользящая средняя Спенсера (центральная скользящая средняя). Ее симметричные весовые коэффициенты составляют [−3, −6, −5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, −5, −6, −3], которые раскладываются на множители и не изменяют значения любого квадратичного или кубического полинома. Вне сферы финансов взвешенные скользящие средние имеют множество форм и применений. Каждая функция взвешивания или "ядро" обладает своими особенностями. В инженерии и науке частотная и фазовая характеристика фильтра часто имеет первостепенное значение для понимания желаемых и нежелательных искажений, которые данный фильтр внесет в данные. Среднее значение – это не просто "сглаживание" данных. Среднее значение является разновидностью фильтра нижних частот. Чтобы сделать правильный выбор, необходимо понимать эффект от используемого фильтра. В этой связи, французская версия статьи рассматривает спектральные эффекты трех видов средних (кумулятивных, экспоненциальных и гауссовских).
Движущаяся медиана
С статистической точки зрения, скользящая средняя, используемая для оценки основного тренда во временном ряду, чувствительна к редким событиям, таким как резкие скачки или другие аномалии. Более устойчивой оценкой тренда является простая скользящая медиана, рассчитанная по n точкам времени: где медиана определяется, например, путем сортировки значений в скобках и нахождения среднего значения. Для больших значений n медиану можно эффективно вычислить, обновляя индексируемый пропускной список. Статистически, скользящая средняя оптимальна для восстановления основного тренда временного ряда, когда отклонения от тренда распределены нормально. Однако нормальное распределение придает небольшую вероятность очень большим отклонениям от тренда, что объясняет, почему такие отклонения оказывают непропорционально большое влияние на оценку тренда. Можно показать, что если предположить, что отклонения распределены по закону Лапласа, то скользящая медиана становится статистически оптимальной. Для заданной дисперсии распределение Лапласа придает более высокую вероятность редким событиям, чем нормальное, что объясняет, почему скользящая медиана лучше переносит скачки, чем скользящая средняя. Когда простая скользящая медиана центрирована, сглаживание идентично медианному фильтру, который применяется, например, в обработке сигналов изображений. Скользящая медиана является более надежной альтернативой скользящей средней при оценке основного тренда во временном ряду. В то время как скользящая средняя оптимальна для восстановления тренда, если отклонения вокруг тренда распределены нормально, она подвержена влиянию редких событий, таких как резкие скачки или аномалии. В отличие от нее, скользящая медиана, которая вычисляется путем сортировки значений внутри временного окна и нахождения среднего значения, более устойчива к влиянию таких редких событий. Это связано с тем, что для заданной дисперсии распределение Лапласа, которое использует скользящая медиана, придает более высокую вероятность редким событиям, чем нормальное распределение, которое использует скользящая средняя. В результате скользящая медиана обеспечивает более надежную и стабильную оценку основного тренда, даже когда на временной ряд влияют значительные отклонения от тренда. Кроме того, сглаживание скользящей медианы идентично медианному фильтру, который имеет различные применения в обработке сигналов изображений.
where the median is found by, for example, sorting the values inside the brackets and finding the value in the middle. For larger values of n, the median can be efficiently computed by updating an indexable skiplist. Statistically, the moving average is optimal for recovering the underlying trend of the time series when the fluctuations about the trend are normally distributed. However, the normal distribution does not place high probability on very large deviations from the trend which explains why such deviations will have a disproportionately large effect on the trend estimate. It can be shown that if the fluctuations are instead assumed to be Laplace distributed, then the moving median is statistically optimal. For a given variance, the Laplace distribution places higher probability on rare events than does the normal, which explains why the moving median tolerates shocks better than the moving mean. When the simple moving median above is central, the smoothing is identical to the median filter which has applications in, for example, image signal processing. The Moving Median is a more robust alternative to the Moving Average when it comes to estimating the underlying trend in a time series. While the Moving Average is optimal for recovering the trend if the fluctuations around the trend are normally distributed, it is susceptible to the impact of rare events such as rapid shocks or anomalies. In contrast, the Moving Median, which is found by sorting the values inside the time window and finding the value in the middle, is more resistant to the impact of such rare events. This is because, for a given variance, the Laplace distribution, which the Moving Median assumes, places higher probability on rare events than the normal distribution that the Moving Average assumes. As a result, the Moving Median provides a more reliable and stable estimate of the underlying trend even when the time series is affected by large deviations from the trend. Additionally, the Moving Median smoothing is identical to the Median Filter, which has various applications in image signal processing.
Модель регрессии скользящей средней
В модели регрессии скользящего среднего предполагается, что интересующая переменная является взвешенным скользящим средним ненаблюдаемых независимых случайных ошибок; веса в скользящем среднем – это параметры, подлежащие оценке. Эти два понятия часто путают из-за схожести названий, но, несмотря на множество общих черт, они представляют собой различные методы и применяются в существенно отличающихся контекстах.