Кіріспе
Статистикада жылжымалы орташа (көшпелі орташа немесе жылжымалы орташа немесе жылжымалы орташа) – бұл толық деректер жиынтығының әртүрлі бөліктерінің орташаларын есептеу арқылы деректер нүктелерін талдауға арналған есептеу. Түрлері: қарапайым, жинақтамалы немесе салмақты түрлер. Математикалық тұрғыдан алғанда, жылжымалы орташа – конволюцияның бір түрі. Сондықтан сигналды өңдеуде ол төмен өткізгіштік импульстік жауап сүзгісі ретінде қарастырылады. Сүзгі коэффициенттерін анықтайтын тіктөртбұрышты функцияға байланысты, ол тіктөртбұрыш сүзгісі деп аталады. Кейде одан кейін үлгілеу жиілігі төмендетіледі. Сандар тізбегі және белгілі бір бөлік мөлшері берілген жағдайда, жылжымалы орташаның бірінші мүшесі сан тізбегінің бастапқы белгілі бір бөлігінің орташасын есептеу арқылы алынады. Содан кейін бөлік "алға жылжу" арқылы өзгереді, яғни тізбектің бірінші саны алынып тасталып, бөлікке келесі мән қосылады. Жылжымалы орташа көбінесе уақыт тізбегі деректерімен қысқа мерзімді ауытқуларды тегістеу және ұзақ мерзімді трендтерді немесе циклдарды анықтау үшін қолданылады. Қысқа және ұзақ мерзім арасындағы шекара қолданылу саласына байланысты болады және жылжымалы орташаның параметрлері осыған сәйкес белгіленеді. Ол экономикада жалпы ішкі өнімді, жұмыспен қамтуды немесе басқа макроэкономикалық уақыт тізбектерін зерттеу үшін де қолданылады. Уақыт тізбегі емес деректермен қолданғанда, жылжымалы орташа уақытпен тікелей байланысы жоқ жоғары жиілікті компоненттерді сүзгілейді, бірақ әдетте қандай да бір реттелуді білдіреді. Ең қарапайым түрінде, оны деректерді тегістеу ретінде қарастыруға болады.
In statistics, a moving average (rolling average or running average or moving mean or rolling mean) is a calculation to analyze data points by creating a series of averages of different selections of the full data set. Variations include: simple, cumulative, or weighted forms. Mathematically, a moving average is a type of convolution. Thus in signal processing it is viewed as a low pass finite impulse response filter. Because the boxcar function outlines its filter coefficients, it is called a boxcar filter. It is sometimes followed by downsampling. Given a series of numbers and a fixed subset size, the first element of the moving average is obtained by taking the average of the initial fixed subset of the number series. Then the subset is modified by "shifting forward"; that is, excluding the first number of the series and including the next value in the subset. A moving average is commonly used with time series data to smooth out short term fluctuations and highlight longer term trends or cycles. The threshold between short term and long term depends on the application, and the parameters of the moving average will be set accordingly. It is also used in economics to examine gross domestic product, employment or other macroeconomic time series. When used with non time series data, a moving average filters higher frequency components without any specific connection to time, although typically some kind of ordering is implied. Viewed simplistically it can be regarded as smoothing the data.
Қарапайым жылжымалы орташа көрсеткіш
Қаржылық қолданбаларда қарапайым жылжымалы орташа (SMA) – алдыңғы деректер нүктелерінің салмақталмаған орташа мәні. Дегенмен, ғылым мен инженерияда орташа мән орталық мәнге қатысты екі жақтағы тең санды деректерден алынады. Бұл орташа мәннің өзгеруі деректердің өзгеруімен сәйкес келуін қамтамасыз етеді, уақыт бойынша ығысуға ұшырамауына кепілдік береді. Қарапайым тең салмақты жылжымалы орташаның мысалы – деректер жиынтығының соңғы жазбалары бойынша есептелген орташа мән. Бұл деректер, мысалы, акцияның жабылу бағасы болуы мүмкін. Соңғы *n* дерек нүктесінің (осы мысалдағы күндердің) орташа мәні *SMA<sub>n</sub>* деп белгіленеді және былай есептеледі:
Келесі орташа мәнді *SMA<sub>n+1</sub>* есептегенде, бірдей үлгілеу ені *n* сақталады, яғни *x<sub>1</sub>* бастап *x<sub>n+1</sub>* аралығы қарастырылады. Жаңа мән *x<sub>n+1</sub>* қосылады, ал ең ескі мән *x<sub>0</sub>* жойылады. Бұл бұрынғы орташа мәнді қайта пайдалану арқылы есептеуді жеңілдетеді. Осылайша, жылжымалы орташа сүзгісі FIFO / айналмалы буферді пайдаланып және тек 3 арифметикалық амалмен нақты уақыт деректерінде тиімді есептелуі мүмкін. FIFO / айналмалы буферді бастапқы толтыру кезінде үлгілеу терезесі деректер жиынтығының мөлшеріне тең болады, сондықтан орташа мән жинақы жылжымалы орташа ретінде есептеледі. Таңдалған кезең қызығушылық тудыратын қозғалыстың түріне байланысты, мысалы, қысқа, орташа немесе ұзақ мерзімді. Егер қолданылған деректер орташа мәнге ортақтаспаса, қарапайым жылжымалы орташа соңғы деректер нүктесінен жарты үлгілеу еніне дейін қалып қояды. SMA ескі деректердің жоғалуына немесе жаңа деректердің енуіне пропорционалды түрде әсер етуі мүмкін. SMA-ның бір ерекшелігі – егер деректерде кезеңдік құбылыс болса, онда осы кезеңге SMA қолданғанда бұл құбылыс жойылады (орташа мән әрқашан бір толық циклды қамтиды). Бірақ толыққанды тұрақты цикл сирек кездеседі. Көптеген қолданыстар үшін тек "өткен" деректерді пайдаланудан туындайтын ығысудан аулақ болу пайдалы. Сондықтан, орталық жылжымалы орташа есептеуге болады, бұл ретте орташа мән есептелген қатардағы нүктелердің екі жағында тең арақашықтықтағы деректерді пайдаланады. Бұл үшін үлгілеу терезесінде тақ санды нүктелерді пайдалану қажет. SMA-ның маңызды кемшілігі – ол терезе ұзындығынан қысқа сигналдың маңызды бөлігін өткізіп жібереді. Жағдайды нашарлататыны, ол оны кері қайтарады. Бұл күтпеген артефакттарға әкелуі мүмкін, мысалы, тегістелген нәтижедегі шыңдар деректердегі төмендіктердің орнында пайда болуы мүмкін. Сондай-ақ, бұл нәтиже күткеннен нашар тегістелуіне әкеледі, өйткені жоғары жиіліктердің кейбіреулері дұрыс жойылмайды. Оның жиілік жауабы sinc деп аталатын төмен өткізгіш сүзгісінің түрі болып табылады.
This means that the moving average filter can be computed quite cheaply on real time data with a FIFO / circular buffer and only 3 arithmetic steps. During the initial filling of the FIFO / circular buffer the sampling window is equal to the data set size thus and the average calculation is performed as a cumulative moving average. The period selected depends on the type of movement of interest, such as short, intermediate, or long term. If the data used are not centered around the mean, a simple moving average lags behind the latest datum by half the sample width. An SMA can also be disproportionately influenced by old data dropping out or new data coming in. One characteristic of the SMA is that if the data has a periodic fluctuation, then applying an SMA of that period will eliminate that variation (the average always containing one complete cycle). But a perfectly regular cycle is rarely encountered. For a number of applications, it is advantageous to avoid the shifting induced by using only "past" data. Hence a central moving average can be computed, using data equally spaced on either side of the point in the series where the mean is calculated. This requires using an odd number of points in the sample window. A major drawback of the SMA is that it lets through a significant amount of the signal shorter than the window length. Worse, it actually inverts it. This can lead to unexpected artifacts, such as peaks in the smoothed result appearing where there were troughs in the data. It also leads to the result being less smooth than expected since some of the higher frequencies are not properly removed. Its frequency response is a type of low pass filter called sinc in frequency.
Салмақты жылжымалы орташа көрсеткіш
Салмақты орташа – үлгі терезесіндегі әртүрлі деректерге әртүрлі салмақ беру үшін көбейтуші факторлары бар орташа шама. Математикалық тұрғыдан алғанда, салмақталған жылжымалы орташа – бұл деректердің белгілі бір салмақ функциясымен конволюциясы. Бір қолданылуы – сандық графикалық кескіндерден пиксельденуді жою. Қаржы саласында, әсіресе қаржылық деректерді талдау кезінде, салмақталған жылжымалы орташа (WMA) арифметикалық прогрессия бойынша кемитін салмақтарды білдіреді. n күндік WMA-да ең соңғы күннің салмағы n, одан бұрынғы күннің салмағы n-1, және т.б., 1-ге дейін кемиді. Бөлімі – үшбұрышты сан, ол әрқашан жеке салмақтардың қосындысына тең болады. WMA-ны тізбектеп келетін мәндер бойынша есептегенде, және арасындағы айырмашылық , егер біз қосындыны деп белгілесек, онда оң жақтағы графикте салмақтардың ең соңғы деректер үшін ең жоғары салмақтан нөлге қалай кемитіні көрсетілген. Оны келесі экспоненциалды жылжымалы орташадағы салмақтармен салыстыруға болады.
The graph at the right shows how the weights decrease, from highest weight for the most recent data, down to zero. It can be compared to the weights in the exponential moving average which follows.
Экспоненциалды жылжымалы орташа
Экспоненциалды жылжымалы орташа (ЭМА), сондай-ақ экспоненциалды салмақталған жылжымалы орташа (ЭВМА) деп те аталады, – бұл бірінші реттік шексіз импульстік жауап сүзгісі, экспоненциалды түрде кемитін салмақ коэффициенттерін қолданады. Ескірек мәліметтерге берілетін салмақ экспоненциалды түрде төмендейді, бірақ ешқашан нөлге жете алмайды. Бұл тұжырымдама Хантердің (1986) еңбегіне сәйкес келеді.
Басқа салмақтар
Кейде басқа салмақтау жүйелері қолданылады. Мысалы, акция саудасында көлемді салмақтау әр кезеңді оның сауда көлеміне пропорционалды түрде салмақтайды. Актуарлар қолданатын тағы бір салмақтау – Спенсердің 15 нүктелік жылжымалы орташасы (орталық жылжымалы орташа). Оның симметриялық салмақ коэффициенттері [−3, −6, −5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, −5, −6, −3] болып табылады, бұл кез келген квадраттық немесе кубтық полиномның үлгілерін өзгертусіз қалдырады. Қаржы әлемінен тыс, салмақталған жылжымалы орташалардың көптеген түрлері мен қолданыстары бар. Әрбір салмақтау функциясы немесе "ядро" өзіне тән қасиеттерге ие. Инженерлік және ғылыми салаларда сүзгінің жиілік және фазалық сипаттамасы деректерге қолданылатын қажетті және қажетсіз бұрмалауларды түсіну үшін маңызды. Орташа деректерді жай ғана "тегістемейді". Орташа – төмен өткізгіш сүзгінің бір түрі. Тиісті таңдау жасау үшін қолданылатын сүзгінің әсерін түсіну қажет. Осы тұста, мақаланың француз тіліндегі нұсқасы 3 түрлі орташаның (жинақтау, экспоненциалдық, Гаусс) спектрлік әсерлерін талқылайды.
Жылжымалы медиана
Статистикалық тұрғыдан алғанда, жылжымалы орташа, уақыт тізбегіндегі негізгі үрдісті бағалау үшін қолданылғанда, жылдам соққылар немесе басқа да аномалиялар сияқты сирек кездесетін оқиғаларға осал болады. Үрдісті сенімдірек бағалау үшін n уақыт нүктесіндегі қарапайым жылжымалы медиананы қолдануға болады:
мұнда медиана, мысалы, жақша ішіндегі мәндерді сұрыптап, ортаңғы мәнді табу арқылы анықталады. n-нің үлкен мәндері үшін медиананы индекстелетін скиплистті жаңарту арқылы тиімді есептеуге болады. Статистикалық тұрғыдан алғанда, жылжымалы орташа, егер үрдіс бойынша ауытқулар қалыпты үлестірімге ие болса, уақыт тізбегінің негізгі үрдісін қалпына келтіру үшін оңтайлы. Алайда, қалыпты үлестірім трендтен өте үлкен ауытқуларға жоғары ықтималдық бермейді, сондықтан мұндай ауытқулар трендті бағалауға пропорционал емес үлкен әсер етеді. Егер ауытқулар Лаплас үлестірімімен сипатталса, жылжымалы медиана статистикалық жағынан оңтайлы екенін көрсетуге болады. Белгілі бір дисперсия үшін Лаплас үлестірімі қалыпты үлестіріме қарағанда сирек оқиғаларға жоғары ықтималдық береді, бұл жылжымалы медиананың жылжымалы орташаға қарағанда соққыларға жақсы төзімділігін түсіндіреді. Жоғарыдағы қарапайым жылжымалы медиана орталық болған жағдайда, тегістеу медианалық сүзгіге тең, ол, мысалы, бейне сигналдарын өңдеуде қолданылады. Жылжымалы медиана, уақыт тізбегіндегі негізгі үрдісті бағалау кезінде жылжымалы орташадан гөрі сенімдірек балама болып табылады. Жылжымалы орташа трендті қалпына келтіру үшін оңтайлы болғанымен, егер трендтің айналасындағы ауытқулар қалыпты үлестірімге ие болса, ол жылдам соққылар немесе аномалиялар сияқты сирек оқиғалардың әсеріне осал. Керісінше, жылжымалы медиана, уақыт терезесіндегі мәндерді сұрыптап, ортаңғы мәнді табу арқылы анықталады, мұндай сирек оқиғалардың әсеріне төзімдірек. Бұл себебі, берілген дисперсия үшін Лаплас үлестірімі, жылжымалы медиана қолданады, жылжымалы орташа қолданатын қалыпты үлестіріме қарағанда сирек оқиғаларға жоғары ықтималдық береді. Нәтижесінде, жылжымалы медиана уақыт тізбегіне трендтен үлкен ауытқулар әсер еткен жағдайда да негізгі үрдісті сенімді және тұрақты бағалауды қамтамасыз етеді. Сонымен қатар, жылжымалы медиананың тегістеуі медианалық сүзгімен бірдей, ол бейне сигналдарын өңдеуде кеңінен қолданылады.
Жылжымалы орташа регрессиялық модель
Жылжымалы орташа регрессиялық модельде, қызығушылық тудыратын айнымалы байқалмаған тәуелсіз қателіктердің салмақталған жылжымалы орташасы деп қарастырылады; жылжымалы орташадағы салмақтар – бағалауға жататын параметрлер. Бұл екі түсінік атауының ұқсастығынан жиі шатастырылады, бірақ көптеген ортақ белгілері болса да, олар ерекше әдістерді көрсетеді және мүлдем басқа жағдайларда қолданылады.