Универсальная квантификация в математической логике
Universal quantification
Универсальная квантификация в математике: значение "для всех" (∀). Объяснение логической константы, домена истинности и применения в математических выражениях.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическое использование "для всех"
Mathematical use of "for all"
В математической логике универсальная квантификация — это тип квантора, логическая константа, которая интерпретируется как "для любого", "для всех" или "при любом". Она выражает, что предикат истинен для каждого элемента области определения. Иными словами, это приписывание свойства или отношения каждому элементу области определения. Она утверждает, что предикат в области действия универсального квантора истинен для каждого значения предикатной переменной. Обычно обозначается перевернутой буквой A (∀), которая, используемая вместе с предикатной переменной, называется универсальным квантором ("∀x", "∀(x)" или иногда просто "(x)"). Универсальная квантификация отличается от экзистенциальной квантификации ("существует"), которая лишь утверждает, что свойство или отношение выполняется хотя бы для одного элемента области определения. Квантификация в целом рассматривается в статье «Квантификация (логика)». Универсальный квантор кодируется как ∀ в Unicode и как \forall в LaTeX и связанных редакторах формул.
In mathematical logic, a universal quantification is a type of quantifier, a logical constant which is interpreted as "given any", "for all", or "for any". It expresses that a predicate can be satisfied by every member of a domain of discourse. In other words, it is the predication of a property or relation to every member of the domain. It asserts that a predicate within the scope of a universal quantifier is true of every value of a predicate variable. It is usually denoted by the turned A (∀) logical operator symbol, which, when used together with a predicate variable, is called a universal quantifier ("∀x", "∀(x)", or sometimes by "(x)" alone). Universal quantification is distinct from existential quantification ("there exists"), which only asserts that the property or relation holds for at least one member of the domain. Quantification in general is covered in the article on quantification (logic). The universal quantifier is encoded as in Unicode, and as \forall in LaTeX and related formula editors.
Правила вывода
Правило вывода — это правило, обосновывающее логический шаг от гипотезы к заключению. Существует несколько правил вывода, использующих универсальный квантор. Универсальная инстанциация позволяет заключить, что если пропозициональная функция известна как универсально истинная, то она должна быть истинной для любого произвольного элемента области определения. Символически это представляется как
A rule of inference is a rule justifying a logical step from hypothesis to conclusion. There are several rules of inference which utilize the universal quantifier. Universal instantiation concludes that, if the propositional function is known to be universally true, then it must be true for any arbitrary element of the universe of discourse. Symbolically, this is represented as
где c — совершенно произвольный элемент области определения. Универсальное обобщение позволяет заключить, что пропозициональная функция должна быть универсально истинной, если она истинна для любого произвольного элемента области определения. Символически, для произвольного c,
where c is a completely arbitrary element of the universe of discourse. Universal generalization concludes the propositional function must be universally true if it is true for any arbitrary element of the universe of discourse. Symbolically, for an arbitrary c,
Элемент c должен быть совершенно произвольным; в противном случае логика нарушается: если c не является произвольным, а вместо этого представляет собой конкретный элемент области определения, то P(c) лишь подразумевает экзистенциальное квантифицирование пропозициональной функции.
The element c must be completely arbitrary; else, the logic does not follow: if c is not arbitrary, and is instead a specific element of the universe of discourse, then P(c) only implies an existential quantification of the propositional function.
Пустой набор
По определению, формула всегда истинна, независимо от формулы P(x); см. вакуумную истинность.
By convention, the formula is always true, regardless of the formula P(x); see vacuous truth.