Введение
Функция, кодирующая зависимость параметра связи от энергетического масштаба – это бета-функция теоретической физики. В теоретической физике, в частности в квантовой теории поля, бета-функция, β(g), кодирует зависимость параметра связи, g, от энергетического масштаба, μ, данного физического процесса, описываемого квантовой теорией поля. Она определяется как… и, благодаря лежащей в основе группе перенормировки, не имеет явной зависимости от μ, а зависит от него лишь неявно через g. Эта зависимость от энергетического масштаба, таким образом определяемая, известна как бег параметра связи – фундаментальная характеристика масштабной зависимости в квантовой теории поля, и ее точное вычисление возможно с использованием различных математических методов.
the beta functions of theoretical physics
In theoretical physics, specifically quantum field theory, a beta function, β(g), encodes the dependence of a coupling parameter, g, on the energy scale, μ, of a given physical process described by quantum field theory. It is defined as
and, because of the underlying renormalization group, it has no explicit dependence on μ, so it only depends on μ implicitly through g.
This dependence on the energy scale thus specified is known as the running of the coupling parameter, a fundamental
feature of scale dependence in quantum field theory, and its explicit computation is achievable through a variety of mathematical techniques.
Инвариантность шкалы
Если бета-функции квантовой теории поля обращаются в нуль, обычно при определенных значениях параметров связи, то говорят, что теория обладает масштабной инвариантностью. Почти все теории, обладающие масштабной инвариантностью, также являются конформно инвариантными. Изучение таких теорий называется конформной теорией поля. Параметры связи квантовой теории поля могут изменяться с масштабом, даже если соответствующая классическая теория поля обладает масштабной инвариантностью. В этом случае ненулевая бета-функция указывает на то, что классическая масштабная инвариантность является аномальной.
SU(N) Теория неабеллевой габаритной теории
В то время как калибровочная группа КХД является SU(3) и определяет 3 цвета, мы можем обобщить это на любое число цветов, Nc, с калибровочной группой SU(Nc). Тогда для этой калибровочной группы, с фермионами Дирака в представлении R_F и с комплексными скалярами в представлении R_S, однопетлевая бета-функция имеет вид:
where is the quadratic Casimir of and is another Casimir invariant defined by for generators of the Lie algebra in the representation R. (For Weyl or Majorana fermions, replace by , and for real scalars, replace by .) For gauge fields (i. e. gluons), necessarily in the adjoint of , ; for fermions in the fundamental (or anti fundamental) representation of , Then for QCD, with , the above equation reduces to that listed for the quantum chromodynamics beta function. This famous result was derived nearly simultaneously in 1973 by Politzer, Gross and Wilczek, for which the three were awarded the Nobel Prize in Physics in 2004. Unbeknownst to these authors, G. 't Hooft had announced the result in a comment following a talk by K. Symanzik at a small meeting in Marseilles in June 1972, but he never published it.
β = - (11Nc - 2Nf) * (g^3 / (16π^2))
where is the quadratic Casimir of and is another Casimir invariant defined by for generators of the Lie algebra in the representation R. (For Weyl or Majorana fermions, replace by , and for real scalars, replace by .) For gauge fields (i. e. gluons), necessarily in the adjoint of , ; for fermions in the fundamental (or anti fundamental) representation of , Then for QCD, with , the above equation reduces to that listed for the quantum chromodynamics beta function. This famous result was derived nearly simultaneously in 1973 by Politzer, Gross and Wilczek, for which the three were awarded the Nobel Prize in Physics in 2004. Unbeknownst to these authors, G. 't Hooft had announced the result in a comment following a talk by K. Symanzik at a small meeting in Marseilles in June 1972, but he never published it.
где C_2(R) является квадратным казимиром представления R, а C_1(R) – другая инвариантная казимирова, определенная как Tr(T^a T^a) для генераторов T^a алгебры Ли в представлении R. (Для фермионов Вейля или Майораны замените Nf на (1/2)Nf, а для вещественных скаляров замените Nf на 0.) Для калибровочных полей (т.е. глюонов) необходимо использовать сопряженное представление, adj(Nc); для фермионов – фундаментальное (или антифундаментальное) представление Nc. Тогда для КХД, с Nc = 3, вышеуказанное уравнение сводится к известному выражению для бета-функции квантовой хромодинамики. Этот знаменитый результат был получен почти одновременно в 1973 году Политцером, Гроссом и Вильчеком, за что они были удостоены Нобелевской премии по физике в 2004 году. Неизвестно этим авторам, Г. 'т Хоофт объявил об этом результате в комментарии после доклада К. Симанзика на небольшой встрече в Марселе в июне 1972 года, но он так и не опубликовал его.
where is the quadratic Casimir of and is another Casimir invariant defined by for generators of the Lie algebra in the representation R. (For Weyl or Majorana fermions, replace by , and for real scalars, replace by .) For gauge fields (i. e. gluons), necessarily in the adjoint of , ; for fermions in the fundamental (or anti fundamental) representation of , Then for QCD, with , the above equation reduces to that listed for the quantum chromodynamics beta function. This famous result was derived nearly simultaneously in 1973 by Politzer, Gross and Wilczek, for which the three were awarded the Nobel Prize in Physics in 2004. Unbeknownst to these authors, G. 't Hooft had announced the result in a comment following a talk by K. Symanzik at a small meeting in Marseilles in June 1972, but he never published it.
Минимальная суперсимметричная стандартная модель
Исследования групп перенормировки в минимальной суперсимметричной стандартной модели (MSSM) при объединении и фиксированных точек Хиггса-Юкавы были весьма обнадеживающими, указывая на то, что теория движется в правильном направлении. Однако на сегодняшний день в экспериментах на Большом адронном коллайдере не получено никаких свидетельств существования предсказанных частиц MSSM.