Введение

Множество с равномощным собственным подмножеством.

В математике множество A называется бесконечным по Дедекинду (в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда), если существует собственное подмножество B множества A, равномощное A. Явно это означает, что существует биекция из A на некоторое собственное подмножество B множества A. Множество называется конечным по Дедекинду, если оно не является бесконечным по Дедекинду (то есть, такая биекция не существует). Предложенная Дедекиндом в 1888 году, бесконечность по Дедекинду была первым определением "бесконечности", которое не опиралось на определение натуральных чисел. Простой пример – множество натуральных чисел. Из парадокса Галилея существует биекция, отображающая каждое натуральное число n в его квадрат n². Поскольку множество квадратов является собственным подмножеством множества натуральных чисел, множество натуральных чисел бесконечно по Дедекинду. До тех пор, пока кризис оснований математики не показал необходимость более тщательного изучения теории множеств, большинство математиков полагали, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно бесконечно по Дедекинду. В начале двадцатого века теория множеств Цермело — Френкеля, сегодня наиболее распространенная форма аксиоматической теории множеств, была предложена как аксиоматическая система для построения теории множеств, свободной от парадоксов, таких как парадокс Рассела. Используя аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля вместе с первоначально весьма спорной аксиомой выбора (ZFC), можно доказать, что множество конечно по Дедекинду тогда и только тогда, когда оно конечно в обычном смысле. Однако существует модель теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора (ZF), в которой существует бесконечное множество, конечное по Дедекинду, что показывает, что аксиом ZF недостаточно для доказательства того, что любое множество, конечное по Дедекинду, конечно. Существуют определения конечности и бесконечности множеств, отличные от определения Дедекинда, которые не зависят от аксиомы выбора. С этим понятием слабо связано понятие кольца Дедекинда, конечного по Дедекинду.

Сравнение с обычным определением бесконечного множества

Это определение "бесконечного множества" следует сравнить с общепринятым определением: множество A бесконечно, если его нельзя привести в биекцию к конечному ординалу, то есть к множеству вида для некоторого натурального числа n – бесконечное множество – это множество, которое буквально "не конечно" в смысле биекции. Во второй половине XIX века большинство математиков просто полагали, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно дедекиндовски бесконечно. Однако эту эквивалентность нельзя доказать, используя аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора (AC) (обычно обозначаемой как "ZF"). Для доказательства этой эквивалентности не требуется вся сила аксиомы выбора; фактически, эквивалентность этих двух определений строго слабее, чем аксиома счётного выбора (CC). (См. ссылки ниже.)

История

Термин назван в честь немецкого математика Ричарда Дедекинда, который впервые явно представил это определение. Важно отметить, что это было первое определение "бесконечности", не опирающееся на определение натуральных чисел (если не придерживаться точки зрения Пуанкаре и не считать понятие числа более фундаментальным, чем понятие множества). Хотя подобное определение было известно Бернарду Болцано, условия его политической ссылки из Пражского университета в 1819 году не позволяли ему публиковать свои работы ни в каких, кроме самых малоизвестных журналов. Более того, определение Болцано точнее описывало отношение, которое выполнялось между двумя бесконечными множествами, а не определение бесконечного множества само по себе. Долгое время многие математики даже не рассматривали возможность различия между понятиями бесконечного множества и дедекиндово бесконечного множества. Фактически, это различие стало осознаваться лишь после того, как Эрнст Цермело явно сформулировал аксиому выбора. Существование бесконечных, но дедекиндово конечных множеств было изучено Бертраном Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом в 1912 году; эти множества первоначально назывались промежуточными кардиналами или кардиналами Дедекинда. С общепринятием аксиомы выбора в математическом сообществе вопросы, связанные с бесконечными и дедекиндово бесконечными множествами, перестали быть центральными для большинства математиков. Однако изучение дедекиндово бесконечных множеств сыграло важную роль в попытке уточнить границу между конечным и бесконечным, а также в истории аксиомы выбора.

Отношение к аксиоме выбора

Поскольку каждое бесконечное хорошо упорядоченное множество является бесконечным в смысле Дедекинда, и поскольку аксиома выбора (AC) эквивалентна теореме о возможности хорошего упорядочения, утверждающей, что любое множество можно хорошо упорядочить, очевидно, что общая аксиома выбора подразумевает, что любое бесконечное множество является бесконечным в смысле Дедекинда. Однако эквивалентность этих двух определений значительно слабее полной силы аксиомы выбора. В частности, существует модель ZF, в которой существует бесконечное множество, не имеющее счетного бесконечного подмножества. Следовательно, в этой модели существует бесконечное множество, конечное в смысле Дедекинда. Из вышесказанного следует, что такое множество не может быть хорошо упорядочено в этой модели. Если мы предположим аксиому счётного выбора (CC, т.е. ACω), то следует, что любое бесконечное множество является бесконечным в смысле Дедекинда. Однако эквивалентность этих двух определений на самом деле строго слабее даже аксиомы счётного выбора. В частности, существует модель ZF, в которой любое бесконечное множество является бесконечным в смысле Дедекинда, но аксиома счётного выбора не выполняется (при условии непротиворечивости ZF).

Обобщения

Выражаясь в терминах теории категорий, множество A называется дедекиндово конечным, если в категории множеств каждый мономорфизм f: A → A является изоморфизмом. Регулярное кольцо фон Неймана R обладает аналогичным свойством в категории (левых или правых) R-модулей тогда и только тогда, когда в R из равенства 1=xy = 1 следует равенство 1=yx = 1. В более общем случае, дедекиндово конечным кольцом называется любое кольцо, удовлетворяющее последнему условию. Следует отметить, что кольцо может быть дедекиндово конечным, даже если его базовое множество дедекиндово бесконечно, например, кольцо целых чисел.