Гипотеза континуума в теории множеств

Введение

Предложение в математической логике. Гипотеза в теории множеств.

В математике, в частности в теории множеств, гипотеза континуума (сокращенно CH) — это гипотеза о возможных мощностях бесконечных множеств. Она утверждает: "Не существует множества, мощность которого строго между мощностью целых чисел и мощностью действительных чисел". Или, эквивалентно: "Любое подмножество действительных чисел либо конечно, либо счетно бесконечно, либо имеет мощность действительных чисел". В теории множеств Зермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) это эквивалентно следующему равенству в алеф-числах: , или ещё короче с бет-числами: .

Гипотеза континуума была сформулирована Георгом Кантором в 1878 году, а установление её истинности или ложности является первой из 23 проблем Гильберта, представленных в 1900 году. Ответ на эту проблему не зависит от ZFC, поэтому либо гипотеза континуума, либо её отрицание можно добавить в качестве аксиомы к теории множеств ZFC, при этом полученная теория будет непротиворечива тогда и только тогда, когда непротиворечива ZFC. Независимость гипотезы была доказана Полом Коэном в 1963 году, дополняя более ранние работы Курта Гёделя, проведённые в 1940 году. Название гипотезы происходит от термина "континуум", используемого для обозначения действительных чисел.

История

Кантор считал гипотезу континуума истинной и в течение многих лет безуспешно пытался её доказать. Она стала первой в списке важных нерешённых проблем, представленном Дэвидом Гильбертом на Международном конгрессе математиков в 1900 году в Париже. Аксиоматическая теория множеств к тому времени ещё не была сформулирована. Курт Гёдель доказал в 1940 году, что отрицание гипотезы континуума, то есть существование множества с промежуточной мощностью, не может быть доказано в стандартной теории множеств. Вторая часть независимости гипотезы континуума – то есть, недоказуемость отсутствия множества промежуточной мощности – была доказана в 1963 году Полом Коэном.

Кардинальность бесконечных множеств

Два множества называются равномощными или имеющими одинаковую кардинальность, если между ними существует биекция (взаимно однозначное соответствие). Интуитивно, для двух множеств S и T обладать одинаковой кардинальностью означает, что можно установить "соответствие один к одному" между элементами S и элементами T таким образом, чтобы каждому элементу S соответствовал ровно один элемент T и наоборот. Следовательно, множество {банан, яблоко, груша} имеет ту же кардинальность, что и {желтый, красный, зеленый}. С бесконечными множествами, такими как множество целых или рациональных чисел, продемонстрировать существование биекции между двумя множествами становится сложнее. Рациональные числа кажутся опровергающим примером гипотезы континуума: множество целых чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, является собственным подмножеством множества действительных чисел, поэтому интуитивно, рациональных чисел больше, чем целых, и действительных чисел больше, чем рациональных. Однако этот интуитивный анализ ошибочен, поскольку он не учитывает тот факт, что все три множества бесконечны. Оказывается, рациональные числа можно установить во взаимно однозначное соответствие с целыми числами, и, следовательно, множество рациональных чисел имеет тот же размер (кардинальность), что и множество целых чисел: оба они являются счетными множествами. Кантор привел два доказательства того, что кардинальность множества целых чисел строго меньше кардинальности множества действительных чисел (см. первое доказательство неисчислимости Кантора и диагональный аргумент Кантора). Однако его доказательства не дают представления о том, насколько кардинальность целых чисел меньше кардинальности действительных чисел. Кантор предложил гипотезу континуума как возможное решение этого вопроса. Гипотеза континуума утверждает, что множество действительных чисел имеет минимально возможную кардинальность, которая больше кардинальности множества целых чисел. То есть, любое множество S действительных чисел можно либо отобразить во взаимно однозначное соответствие с целыми числами, либо множество действительных чисел можно отобразить во взаимно однозначное соответствие с S. Поскольку действительные числа эквивалентны по мощности силовому множеству целых чисел, то есть, гипотезу континуума можно переформулировать следующим образом:

Two sets are said to have the same cardinality or cardinal number if there exists a bijection (a one to one correspondence) between them. Intuitively, for two sets S and T to have the same cardinality means that it is possible to "pair off" elements of S with elements of T in such a fashion that every element of S is paired off with exactly one element of T and vice versa. Hence, the set {banana, apple, pear} has the same cardinality as {yellow, red, green}. With infinite sets such as the set of integers or rational numbers, the existence of a bijection between two sets becomes more difficult to demonstrate. The rational numbers seemingly form a counterexample to the continuum hypothesis: the integers form a proper subset of the rationals, which themselves form a proper subset of the reals, so intuitively, there are more rational numbers than integers and more real numbers than rational numbers. However, this intuitive analysis is flawed; it does not take proper account of the fact that all three sets are infinite. It turns out the rational numbers can actually be placed in one to one correspondence with the integers, and therefore the set of rational numbers is the same size (cardinality) as the set of integers: they are both countable sets. Cantor gave two proofs that the cardinality of the set of integers is strictly smaller than that of the set of real numbers (see Cantor's first uncountability proof and Cantor's diagonal argument). His proofs, however, give no indication of the extent to which the cardinality of the integers is less than that of the real numbers. Cantor proposed the continuum hypothesis as a possible solution to this question. The continuum hypothesis states that the set of real numbers has minimal possible cardinality which is greater than the cardinality of the set of integers. That is, every set, S, of real numbers can either be mapped one to one into the integers or the real numbers can be mapped one to one into S. As the real numbers are equinumerous with the powerset of the integers, i. e. , the continuum hypothesis can be restated as follows:

Принимая аксиому выбора, существует единственное наименьшее кардинальное число, большее , и гипотеза континуума, в свою очередь, эквивалентна равенству .

Независимость от ZFC

Независимость гипотезы континуума (CH) от теории множеств Зермело-Фрэнкеля (ZF) следует из совместной работы Курта Гёделя и Пола Коэна. Гёдель показал, что CH нельзя опровергнуть из ZF, даже если аксиома выбора (AC) принята (что приводит к ZFC). Доказательство Гёделя показывает, что CH и AC обе верны в конструктивной вселенной L, внутренней модели теории множеств ZF, при условии, что принимаются только аксиомы ZF. Существование внутренней модели ZF, в которой выполняются дополнительные аксиомы, показывает, что эти дополнительные аксиомы согласованы с ZF, при условии, что сама ZF является согласованной. Последнее условие нельзя доказать в самой ZF из-за теорем о неполноте Гёделя, но широко считается истинным и может быть доказано в более сильных теориях множеств. Коэн показал, что CH нельзя доказать из аксиом ZFC, завершив общее доказательство независимости. Чтобы доказать свой результат, Коэн разработал метод принуждения (forcing), который стал стандартным инструментом в теории множеств. По сути, этот метод начинается с модели ZF, в которой CH верна, и строит другую модель, содержащую больше множеств, чем исходная, таким образом, что CH не верна в новой модели. Коэн был удостоен медали Филдса в 1966 году за это доказательство. Доказательство независимости, описанное выше, показывает, что CH независима от ZFC. Дальнейшие исследования показали, что CH независима от всех известных аксиом больших кардиналов в контексте ZFC. Более того, было показано, что кардинальность континуума может быть любым кардиналом, согласованным с теоремой Кёнига. Результат Соловая, полученный вскоре после результата Коэна об независимости гипотезы континуума, показывает, что в любой модели ZFC, если κ – кардинал с неисчислимой кофинальностью, то существует принудительное расширение, в котором . Однако, согласно теореме Кёнига, несовместно предположение, что κ равно ℵ₀ или ℵ₁ или любому кардиналу с кофинальностью ℵ₀. Гипотеза континуума тесно связана со многими утверждениями в анализе, топологии множеств и теории меры. В результате её независимости многие существенные гипотезы в этих областях впоследствии также оказались независимыми. Независимость от ZFC означает, что доказать или опровергнуть CH в рамках ZFC невозможно. Однако отрицательные результаты Гёделя и Коэна не рассматриваются повсеместно как окончательно снимающие весь интерес к гипотезе континуума. Гипотеза континуума остаётся активной областью исследований; см. работы Вуднина и Питера Кёллнера для обзора текущего состояния исследований. Гипотеза континуума и аксиома выбора были одними из первых подлинно математических утверждений, показавших свою независимость от теории множеств ZF. Хотя существование некоторых утверждений, независимых от ZFC, было известно более двух десятилетий ранее – например, при условии хороших свойств непротиворечивости и непротиворечивости ZFC – теоремы о неполноте Гёделя, опубликованные в 1931 году, устанавливают, что существует формальное утверждение (одно для каждой соответствующей схемы нумерации Гёделя), выражающее непротиворечивость ZFC, которое также независимо от неё. Последний результат независимости действительно справедлив для многих теорий.

The independence of the continuum hypothesis (CH) from Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) follows from combined work of Kurt Gödel and Paul Cohen. Gödel showed that CH cannot be disproved from ZF, even if the axiom of choice (AC) is adopted (making ZFC). Gödel's proof shows that CH and AC both hold in the constructible universe L, an inner model of ZF set theory, assuming only the axioms of ZF. The existence of an inner model of ZF in which additional axioms hold shows that the additional axioms are consistent with ZF, provided ZF itself is consistent. The latter condition cannot be proved in ZF itself, due to Gödel's incompleteness theorems, but is widely believed to be true and can be proved in stronger set theories. Cohen showed that CH cannot be proven from the ZFC axioms, completing the overall independence proof. To prove his result, Cohen developed the method of forcing, which has become a standard tool in set theory. Essentially, this method begins with a model of ZF in which CH holds, and constructs another model which contains more sets than the original, in a way that CH does not hold in the new model. Cohen was awarded the Fields Medal in 1966 for his proof. The independence proof just described shows that CH is independent of ZFC. Further research has shown that CH is independent of all known large cardinal axioms in the context of ZFC. Moreover, it has been shown that the cardinality of the continuum can be any cardinal consistent with König's theorem. A result of Solovay, proved shortly after Cohen's result on the independence of the continuum hypothesis, shows that in any model of ZFC, if is a cardinal of uncountable cofinality, then there is a forcing extension in which However, per König's theorem, it is not consistent to assume is or or any cardinal with cofinality
The continuum hypothesis is closely related to many statements in analysis, point set topology and measure theory. As a result of its independence, many substantial conjectures in those fields have subsequently been shown to be independent as well. The independence from ZFC means that proving or disproving the CH within ZFC is impossible. However, Gödel and Cohen's negative results are not universally accepted as disposing of all interest in the continuum hypothesis. The continuum hypothesis remains an active topic of research; see Woodin and Peter Koellner for an overview of the current research status. The continuum hypothesis and the axiom of choice were among the first genuinely mathematical statements shown to be independent of ZF set theory. Although the existence of some statements independent of ZFC had already been known more than two decades prior: for example, assuming good soundness properties and the consistency ZFC, Gödel's incompleteness theorems, which were published in 1931, establish that there is a formal statement (one for each appropriate Gödel numbering scheme) expressing the consistency of ZFC, that is also independent of it. The latter independence result indeed holds for many theories.

Аргументы за и против гипотезы континуума

Гёдель считал, что CH ложна, и что его доказательство того, что CH согласуется с ZFC, показывает лишь то, что аксиомы Цермело — Френкеля не адекватно характеризуют вселенную множеств. Гедель был платонистом и поэтому не испытывал затруднений с утверждением об истинности или ложности утверждений, независимо от их доказуемости. Коэн, хотя и формалист, также склонялся к отрицанию CH. Исторически математики, предпочитавшие "богатую" и "обширную" вселенную множеств, выступали против CH, а те, кто предпочитал "аккуратную" и "управляемую" вселенную, — за CH. Параллельные аргументы приводились как в поддержку, так и против аксиомы конструктивности, которая подразумевает CH. Недавно Мэтью Форман указал на то, что онтологический максимализм может быть использован для аргументации в пользу CH, поскольку среди моделей, имеющих одинаковые действительные числа, модели с "большим" количеством множеств действительных чисел имеют больше шансов удовлетворять CH. Другая точка зрения заключается в том, что понятие множества недостаточно конкретно, чтобы определить, является ли CH истинной или ложной. Эта точка зрения была выдвинута еще в 1923 году Сколемом, еще до первой теоремы о неполноте Гёделя. Сколем аргументировал, опираясь на то, что сейчас известно как парадокс Сколема, и впоследствии это было подтверждено независимостью CH от аксиом ZFC, поскольку этих аксиом достаточно для установления элементарных свойств множеств и кардинальностей. Чтобы опровергнуть эту точку зрения, было бы достаточно продемонстрировать новые аксиомы, подкрепленные интуицией, которые разрешили бы CH в ту или иную сторону. Хотя аксиома конструктивности разрешает CH, она обычно не считается интуитивно истинной, как и CH обычно не считается ложной. Было предложено как минимум две другие аксиомы, имеющие последствия для гипотезы континуума, хотя в настоящее время они не получили широкого признания в математическом сообществе. В 1986 году Крис Фрейлинг представил аргумент против CH, показав, что отрицание CH эквивалентно аксиоме симметрии Фрейлинга — утверждению, вытекающему из определенных интуитивных представлений о вероятностях. Фрейлинг считает эту аксиому "интуитивно верной", но другие с ним не согласны. Сложный аргумент против CH, разработанный У. Хью Вудином, привлек значительное внимание с 2000 года. Форман не отвергает аргумент Вудина, но призывает к осторожности. Вуддин предложил новую гипотезу, которую он назвал "аксиомой (*)" или "аксиомой звезды". Аксиома Звезды подразумевает, что , тем самым опровергая CH. Аксиома Звезды была подкреплена независимым доказательством, полученным в мае 2021 года, которое показало, что аксиома Звезды может быть выведена из вариации максимума Мартина. Однако Вуддин заявил в 2010-х годах, что теперь он считает CH истинной, основываясь на своей вере в новую гипотезу "окончательного L". Соломон Феферман утверждал, что CH не является определенной математической проблемой. Он предложил теорию "определенности", используя полуинтуиционистскую подсистему ZF, которая принимает классическую логику для ограниченных кванторов, но использует интуиционистскую логику для неограниченных, и предположил, что предложение математически "определено", если полуинтуиционистская теория может доказать его. Он предположил, что CH не определена в соответствии с этим понятием и, следовательно, не должна считаться обладающей истинным значением. Питер Кёльнер написал критический комментарий к статье Фефермана. Джоэл Дэвид Хэмкинс предлагает мультивселенную подход к теории множеств и утверждает, что "гипотеза континуума разрешена в рамках мультивселенной благодаря нашим обширным знаниям о ее поведении в мультивселенной и, как следствие, больше не может быть разрешена в том виде, на который надеялись ранее". В связи с этим Сахарон Шелах написал, что он "не согласен с чисто платоническим взглядом на то, что интересные проблемы в теории множеств могут быть решены, что нам просто нужно открыть дополнительную аксиому. Мое представление состоит в том, что у нас есть множество возможных теорий множеств, все соответствующие ZFC".

Gödel believed that CH is false, and that his proof that CH is consistent with ZFC only shows that the Zermelo–Fraenkel axioms do not adequately characterize the universe of sets. Gödel was a platonist and therefore had no problems with asserting the truth and falsehood of statements independent of their provability. Cohen, though a formalist, also tended towards rejecting CH. Historically, mathematicians who favored a "rich" and "large" universe of sets were against CH, while those favoring a "neat" and "controllable" universe favored CH. Parallel arguments were made for and against the axiom of constructibility, which implies CH. More recently, Matthew Foreman has pointed out that ontological maximalism can actually be used to argue in favor of CH, because among models that have the same reals, models with "more" sets of reals have a better chance of satisfying CH. Another viewpoint is that the conception of set is not specific enough to determine whether CH is true or false. This viewpoint was advanced as early as 1923 by Skolem, even before Gödel's first incompleteness theorem. Skolem argued on the basis of what is now known as Skolem's paradox, and it was later supported by the independence of CH from the axioms of ZFC since these axioms are enough to establish the elementary properties of sets and cardinalities. In order to argue against this viewpoint, it would be sufficient to demonstrate new axioms that are supported by intuition and resolve CH in one direction or another. Although the axiom of constructibility does resolve CH, it is not generally considered to be intuitively true any more than CH is generally considered to be false. At least two other axioms have been proposed that have implications for the continuum hypothesis, although these axioms have not currently found wide acceptance in the mathematical community. In 1986, Chris Freiling presented an argument against CH by showing that the negation of CH is equivalent to Freiling's axiom of symmetry, a statement derived by arguing from particular intuitions about probabilities. Freiling believes this axiom is "intuitively true" but others have disagreed. A difficult argument against CH developed by W. Hugh Woodin has attracted considerable attention since the year 2000. Foreman does not reject Woodin's argument outright but urges caution. Woodin proposed a new hypothesis that he labeled the "(*) axiom", or "Star axiom". The Star axiom would imply that is , thus falsifying CH. The Star axiom was bolstered by an independent May 2021 proof showing the Star axiom can be derived from a variation of Martin's maximum. However, Woodin stated in the 2010s that he now instead believes CH to be true, based on his belief in his new "ultimate L" conjecture. Solomon Feferman argued that CH is not a definite mathematical problem. He proposed a theory of "definiteness" using a semi intuitionistic subsystem of ZF that accepts classical logic for bounded quantifiers but uses intuitionistic logic for unbounded ones, and suggested that a proposition is mathematically "definite" if the semi intuitionistic theory can prove He conjectured that CH is not definite according to this notion, and proposed that CH should, therefore, be considered not to have a truth value. Peter Koellner wrote a critical commentary on Feferman's article. Joel David Hamkins proposes a multiverse approach to set theory and argues that "the continuum hypothesis is settled on the multiverse view by our extensive knowledge about how it behaves in the multiverse, and, as a result, it can no longer be settled in the manner formerly hoped for". In a related vein, Saharon Shelah wrote that he does "not agree with the pure Platonic view that the interesting problems in set theory can be decided, that we just have to discover the additional axiom. My mental picture is that we have many possible set theories, all conforming to ZFC".

Обобщенная гипотеза континуума

Гипотеза обобщенного континуума (GCH) утверждает, что если кардинальность бесконечного множества лежит между кардинальностью бесконечного множества S и кардинальностью множества степеней S, то она равна кардинальности либо S, либо . Иными словами, для любого бесконечного кардинала не существует кардинала , чтобы выполнялось равенство: для каждого порядкового числа (иногда называемого гипотезой Кантора об алефах). Числа бет предоставляют альтернальную нотацию для этого условия: для каждого порядкового числа. Гипотеза континуума является частным случаем для порядкового числа. GCH была впервые предложена Филиппом Джорданом. Об истории GCH см. работы Мура. Как и CH, GCH также независима от ZFC, но Серпинский доказал, что ZF + GCH влечет аксиому выбора (AC) (и, следовательно, отрицание аксиомы детерминированности, AD), поэтому выбор и GCH не являются независимыми в ZF; не существует моделей ZF, в которых GCH выполняется, а AC не выполняется. Для доказательства этого Серпинский показал, что GCH подразумевает, что каждая кардинальность n меньше некоторого числа алеф и, следовательно, может быть упорядочена. Это достигается путем показа того, что n меньше, чем , которое, в свою очередь, меньше собственного числа Хартогса этого n – это использует равенство ; для полного доказательства см. Гиллмана. Курт Гёдель показал, что GCH является следствием ZF + V=L (аксиомы о том, что каждое множество конструируемо относительно порядковых чисел) и, следовательно, непротиворечива с ZFC. Поскольку GCH влечет CH, модель Коэна, в которой CH не выполняется, является моделью, в которой GCH также не выполняется, и, следовательно, GCH нельзя доказать из ZFC. У. Б. Истон использовал метод принуждения, разработанный Коэном, для доказательства теоремы Истона, которая показывает, что непротиворечиво с ZFC, чтобы произвольно большие кардиналы не удовлетворяли . Позже Форман и Вуддин доказали, что (при условии непротиворечивости очень больших кардиналов) непротиворечиво, что выполняется для каждого бесконечного кардинала. Впоследствии Вуддин расширил это, показав непротиворечивость для каждого. Карми Меримович показал, что для каждого n ≥ 1 непротиворечиво с ZFC, что для каждого κ, 2κ является n-м преемником κ. С другой стороны, Ласло Патай доказал, что если γ – порядковое число и для каждого бесконечного кардинала κ, 2κ является γ-м преемником κ, то γ конечно. Для любых бесконечных множеств A и B, если существует инъекция из A в B, то существует инъекция из подмножеств A в подмножества B. Таким образом, для любых бесконечных кардиналов A и B, . Если A и B конечны, то выполняется более строгое неравенство . GCH подразумевает, что это строгое, более сильное неравенство выполняется как для бесконечных, так и для конечных кардиналов.

The generalized continuum hypothesis (GCH) states that if an infinite set's cardinality lies between that of an infinite set S and that of the power set of S, then it has the same cardinality as either S or That is, for any infinite cardinal there is no cardinal such that GCH is equivalent to:
for every ordinal (occasionally called Cantor's aleph hypothesis). The beth numbers provide an alternate notation for this condition: for every ordinal The continuum hypothesis is the special case for the ordinal GCH was first suggested by Philip Jourdain. For the early history of GCH, see Moore. Like CH, GCH is also independent of ZFC, but Sierpiński proved that ZF + GCH implies the axiom of choice (AC) (and therefore the negation of the axiom of determinacy, AD), so choice and GCH are not independent in ZF; there are no models of ZF in which GCH holds and AC fails. To prove this, Sierpiński showed GCH implies that every cardinality n is smaller than some aleph number, and thus can be ordered. This is done by showing that n is smaller than which is smaller than its own Hartogs number—this uses the equality ; for the full proof, see Gillman. Kurt Gödel showed that GCH is a consequence of ZF + V=L (the axiom that every set is constructible relative to the ordinals), and is therefore consistent with ZFC. As GCH implies CH, Cohen's model in which CH fails is a model in which GCH fails, and thus GCH is not provable from ZFC. W. B. Easton used the method of forcing developed by Cohen to prove Easton's theorem, which shows it is consistent with ZFC for arbitrarily large cardinals to fail to satisfy Much later, Foreman and Woodin proved that (assuming the consistency of very large cardinals) it is consistent that holds for every infinite cardinal Later Woodin extended this by showing the consistency of for every Carmi Merimovich showed that, for each n ≥ 1, it is consistent with ZFC that for each κ, 2κ is the nth successor of κ. On the other hand, László Patai proved that if γ is an ordinal and for each infinite cardinal κ, 2κ is the γth successor of κ, then γ is finite. For any infinite sets A and B, if there is an injection from A to B then there is an injection from subsets of A to subsets of B. Thus for any infinite cardinals A and B, If A and B are finite, the stronger inequality holds. GCH implies that this strict, stronger inequality holds for infinite cardinals as well as finite cardinals.