Кардинальность множества: от древности до теории Кантора

Введение

Определение числа элементов множества

В математике кардинальность множества является мерой количества элементов множества. Например, множество {a, b, c} содержит 3 элемента, и, следовательно, имеет кардинальность 3. Начиная с конца XIX века, это понятие было обобщено на бесконечные множества, что позволяет различать различные виды бесконечности и выполнять над ними арифметические операции. Существует два подхода к кардинальности: один, который сравнивает множества напрямую, используя биекции и инъекции, и другой, который оперирует кардинальными числами. Кардинальность множества также может называться его мощностью, когда нет риска путаницы с другими понятиями размера. Кардинальность множества обычно обозначается |A|, с вертикальной чертой с каждой стороны; это то же обозначение, что и для модуля числа, и его значение зависит от контекста. Кардинальность множества может также обозначаться card(A), #(A), или meas(A).

История

Грубое понимание кардинальности, осознание того, что группы объектов или событий можно сравнивать с другими группами по количеству элементов – больше, меньше или одинаково – наблюдается у различных современных видов животных, что указывает на происхождение, восходящее к миллионам лет назад. Проявление кардинальности у человека датируется примерно 40000 годами назад, когда размер группы приравнивался к количеству сделанных зарубок или к представительной коллекции других предметов, таких как палки и ракушки. Абстракция кардинальности как числа становится очевидной к 3000 году до н.э. в шумерской математике, в манипуляциях с числами без привязки к конкретной группе объектов или событий. Начиная с VI века до н.э., в трудах греческих философов появляются намеки на кардинальность бесконечных множеств. Хотя они рассматривали бесконечность как бесконечную последовательность действий, например, многократное добавление единицы к числу, они не считали размер бесконечного множества чисел чем-то определенным. Древнегреческое представление о бесконечности также включало деление объектов на части, повторяющееся без ограничений. В «Началах» Евклида соизмеримость определялась как возможность сравнить длины двух отрезков, a и b, как отношение, при условии существования третьего отрезка, каким бы малым он ни был, который можно было бы уложить целое число раз в оба отрезка, a и b. Однако с открытием иррациональных чисел стало ясно, что даже бесконечного множества всех рациональных чисел недостаточно для описания длины любого возможного отрезка. Тем не менее, не существовало понятия бесконечных множеств как чего-то, обладающего кардинальностью. Для лучшего понимания бесконечных множеств понятие кардинальности было сформулировано около 1880 года Георгом Кантором, основоположником теории множеств. Он исследовал процесс установления равенства двух множеств посредством биекции – взаимно однозначного соответствия между элементами двух множеств, основанного на уникальной связи. В 1891 году, с публикацией диагонального аргумента Кантора, он доказал, что существуют множества чисел, которые нельзя привести к взаимно однозначному соответствию с множеством натуральных чисел, то есть несчетные множества, содержащие больше элементов, чем бесконечное множество натуральных чисел.

A crude sense of cardinality, an awareness that groups of things or events compare with other groups by containing more, fewer, or the same number of instances, is observed in a variety of present day animal species, suggesting an origin millions of years ago. Human expression of cardinality is seen as early as 40000 years ago, with equating the size of a group with a group of recorded notches, or a representative collection of other things, such as sticks and shells. The abstraction of cardinality as a number is evident by 3000 BCE, in Sumerian mathematics and the manipulation of numbers without reference to a specific group of things or events. From the 6th century BCE, the writings of Greek philosophers show hints of the cardinality of infinite sets. While they considered the notion of infinity as an endless series of actions, such as adding 1 to a number repeatedly, they did not consider the size of an infinite set of numbers to be a thing. The ancient Greek notion of infinity also considered the division of things into parts repeated without limit. In Euclid's Elements, commensurability was described as the ability to compare the length of two line segments, a and b, as a ratio, as long as there were a third segment, no matter how small, that could be laid end to end a whole number of times into both a and b. But with the discovery of irrational numbers, it was seen that even the infinite set of all rational numbers was not enough to describe the length of every possible line segment. Still, there was no concept of infinite sets as something that had cardinality. To better understand infinite sets, a notion of cardinality was formulated c. 1880 by Georg Cantor, the originator of set theory. He examined the process of equating two sets with bijection, a one to one correspondence between the elements of two sets based on a unique relationship. In 1891, with the publication of Cantor's diagonal argument, he demonstrated that there are sets of numbers that cannot be placed in one to one correspondence with the set of natural numbers, i. e. uncountable sets that contain more elements than there are in the infinite set of natural numbers.

Сравнительные наборы

В то время как кардинальность конечного множества — это просто количество его элементов, расширение этого понятия на бесконечные множества обычно начинается с определения способа сравнения произвольных множеств (включая, возможно, бесконечные).

Определение 1: =

Два множества A и B имеют одинаковую мощность, если существует биекция (также известная как соответствие один к одному) из A в B, то есть функция из A в B, которая является одновременно инъективной и сюръективной. Такие множества называются эквивалентными по мощности, эквипотентными или эквинумероусными. Это отношение также может быть обозначено как A ≈ B или A ~ B. Например, множество E = {0, 2, 4, 6, …} неотрицательных чётных чисел имеет ту же мощность, что и множество N = {0, 1, 2, 3, …} натуральных чисел, поскольку функция f(n) = 2n является биекцией из N в E (см. рисунок). Для конечных множеств A и B, если существует биекция из A в B, то любая инъективная или сюръективная функция из A в B также является биекцией. Это больше не верно для бесконечных множеств A и B. Например, функция g из N в E, определённая как g(n) = 4n, является инъективной, но не сюръективной, а функция h из N в E, определённая как h(n) = n - (n mod 2), является сюръективной, но не инъективной. Ни функция g, ни функция h не могут опровергнуть ≈, что было установлено существованием f.

Определение 2: ≤

Кардинальность A меньше или равна кардинальности B, если существует инъективное отображение из A в B.

Определение 3:

Кардинальность A строго меньше кардинальности B, если существует инъективная функция, но не существует биективной функции, из A в B. Например, множество N всех натуральных чисел имеет кардинальность строго меньше, чем его множество степеней P(N), поскольку функция g(n) = {n} является инъективной функцией из N в P(N), и можно показать, что никакая функция из N в P(N) не может быть биективной (см. рисунок). По аналогичному аргументу, N имеет кардинальность строго меньше, чем кардинальность множества R всех действительных чисел. Доказательства можно найти в диагональном аргументе Кантора или в первом доказательстве неисчислимости Кантора. Если A ≤ B и B ≤ A, то A = B (этот факт известен как теорема Шредера — Бернштейна). Аксиома выбора эквивалентна утверждению, что для любых A и B выполняется либо A ≤ B, либо B ≤ A.

Конечные, считываемые и несчитываемые множества

Если аксиома выбора верна, то закон трихотомии выполняется для кардинальности. Таким образом, мы можем дать следующие определения:

Любое множество X с кардинальностью, меньшей кардинальности натуральных чисел, или |X| < |N|, называется конечным множеством. Любое множество X, имеющее ту же кардинальность, что и множество натуральных чисел, или |X| = |N| = ℵ₀, называется счетно бесконечным множеством. Одним из примеров этого является парадокс Гильберта о Гранд-отеле. Действительно, Дедекинд определил бесконечное множество как множество, которое можно привести в биективное соответствие со своим собственным подмножеством (то есть имеющим тот же размер в смысле Кантора); это понятие бесконечности называется дедекиндовской бесконечностью. Кантор ввел кардинальные числа и показал – в соответствии с его определением размера, основанным на биекциях, – что некоторые бесконечные множества больше других. Наименьшая бесконечная кардинальность – это кардинальность натуральных чисел ℵ₀.

Примеры и свойства

Если X = {a, b, c} и Y = {яблоки, апельсины, персики}, где a, b и c различны, то |X| = |Y|, поскольку { (a, яблоки), (b, апельсины), (c, персики) } является биекцией между множествами X и Y. Кардинальность каждого из множеств X и Y равна 3. Если |X| ≤ |Y|, то существует множество Z такое, что |X| = |Z| и Z ⊆ Y. Если |X| ≤ |Y| и |Y| ≤ |X|, то |X| = |Y|. Это справедливо даже для бесконечных кардиналов и известно как теорема Кантора — Бернштейна — Шредера. Множества с кардинальностью континуума включают в себя множество всех действительных чисел, множество всех иррациональных чисел и интервал.