Введение
Симплициальный комплекс в евклидовой геометрии
A triangulation of a set of points in the Euclidean space is a simplicial complex that covers the convex hull of , and whose vertices belong to In the plane (when is a set of points in ), triangulations are made up of triangles, together with their edges and vertices. Some authors require that all the points of are vertices of its triangulations. In this case, a triangulation of a set of points in the plane can alternatively be defined as a maximal set of non crossing edges between points of In the plane, triangulations are special cases of planar straight line graphs. A particularly interesting kind of triangulations are the Delaunay triangulations. They are the geometric duals of Voronoi diagrams. The Delaunay triangulation of a set of points in the plane contains the Gabriel graph, the nearest neighbor graph and the minimal spanning tree of
Triangulations have a number of applications, and there is an interest to find the "good" triangulations of a given point set under some criteria as, for instance minimum weight triangulations. Sometimes it is desirable to have a triangulation with special properties, e. g., in which all triangles have large angles (long and narrow ("splinter") triangles are avoided). Given a set of edges that connect points of the plane, the problem to determine whether they contain a triangulation is NP complete.
Триангуляция множества точек в евклидовом пространстве — это симплициальный комплекс, покрывающий выпуклую оболочку, и вершины которого принадлежат . В плоскости (когда является множеством точек в ), триангуляции состоят из треугольников вместе с их ребрами и вершинами. Некоторые авторы требуют, чтобы все точки были вершинами своей триангуляции. В этом случае триангуляция множества точек в плоскости может быть определена как максимальное множество непересекающихся ребер между точками . В плоскости триангуляции являются частными случаями планарных прямолинейных графов. Особенно интересны триангуляции Делоне, являющиеся геометрическими дуалами диаграмм Вороного. Триангуляция Делоне множества точек в плоскости содержит граф Габриэля, граф ближайших соседей и минимальное остовное дерево.
A triangulation of a set of points in the Euclidean space is a simplicial complex that covers the convex hull of , and whose vertices belong to In the plane (when is a set of points in ), triangulations are made up of triangles, together with their edges and vertices. Some authors require that all the points of are vertices of its triangulations. In this case, a triangulation of a set of points in the plane can alternatively be defined as a maximal set of non crossing edges between points of In the plane, triangulations are special cases of planar straight line graphs. A particularly interesting kind of triangulations are the Delaunay triangulations. They are the geometric duals of Voronoi diagrams. The Delaunay triangulation of a set of points in the plane contains the Gabriel graph, the nearest neighbor graph and the minimal spanning tree of
Triangulations have a number of applications, and there is an interest to find the "good" triangulations of a given point set under some criteria as, for instance minimum weight triangulations. Sometimes it is desirable to have a triangulation with special properties, e. g., in which all triangles have large angles (long and narrow ("splinter") triangles are avoided). Given a set of edges that connect points of the plane, the problem to determine whether they contain a triangulation is NP complete.
Триангуляции имеют множество применений, и существует интерес к поиску "хороших" триангуляций заданного набора точек по определенным критериям, например, триангуляций с минимальным весом. Иногда желательно, чтобы триангуляция обладала специальными свойствами, например, чтобы все треугольники имели большие углы (избегались вытянутые и узкие ("щелевидные") треугольники). Для заданного множества ребер, соединяющих точки плоскости, задача определения, образуют ли они триангуляцию, является NP-полной.
A triangulation of a set of points in the Euclidean space is a simplicial complex that covers the convex hull of , and whose vertices belong to In the plane (when is a set of points in ), triangulations are made up of triangles, together with their edges and vertices. Some authors require that all the points of are vertices of its triangulations. In this case, a triangulation of a set of points in the plane can alternatively be defined as a maximal set of non crossing edges between points of In the plane, triangulations are special cases of planar straight line graphs. A particularly interesting kind of triangulations are the Delaunay triangulations. They are the geometric duals of Voronoi diagrams. The Delaunay triangulation of a set of points in the plane contains the Gabriel graph, the nearest neighbor graph and the minimal spanning tree of
Triangulations have a number of applications, and there is an interest to find the "good" triangulations of a given point set under some criteria as, for instance minimum weight triangulations. Sometimes it is desirable to have a triangulation with special properties, e. g., in which all triangles have large angles (long and narrow ("splinter") triangles are avoided). Given a set of edges that connect points of the plane, the problem to determine whether they contain a triangulation is NP complete.
Регулярные триангуляции
Некоторые триангуляции набора точек могут быть получены путем поднятия точек в (что эквивалентно добавлению координаты к каждой точке ), вычислению выпуклой оболочки поднятого набора точек и проецированию нижних граней этой выпуклой оболочки обратно на . Триангуляции, построенные таким образом, называются регулярными триангуляциями . Когда точки поднимаются на параболоид уравнения , эта конструкция приводит к триангуляции Делонея. Следует отметить, что для того, чтобы эта конструкция давала триангуляцию, нижняя выпуклая оболочка поднятого набора точек должна быть симплициальной. В случае триангуляций Делоне это означает, что никакие четыре точки из не должны лежать на одной сфере.
Комбинаторика в плоскости
Каждая триангуляция любого набора точек на плоскости имеет треугольников и ребер, где — количество точек из на границе выпуклой оболочки . Это следует из простого аргумента, основанного на характеристике Эйлера.
Алгоритмы для построения триангуляций в плоскости
Алгоритм разбиения на треугольники: Найдите выпуклую оболочку множества точек и триангулируйте эту оболочку как многоугольник. Выберите внутреннюю точку и проведите ребра к трем вершинам треугольника, содержащего её. Продолжайте этот процесс, пока не будут исчерпаны все внутренние точки. Приращивающий алгоритм: Отсортируйте точки по x-координатам. Первые три точки определяют треугольник. Рассмотрите следующую точку в упорядоченном множестве и соедините её со всеми ранее рассмотренными точками, которые видны из этой точки. Продолжайте этот процесс добавления одной точки за раз, пока все точки не будут обработаны.