Введение

Каноническая форма матриц над полем
В линейной алгебре нормальная форма Фробениуса или рациональная каноническая форма квадратной матрицы A с элементами в поле F является канонической формой для матриц, получаемой посредством приведения в нормальный вид с помощью невырожденных матриц над F. Эта форма отражает минимальное разложение векторного пространства на подпространства, циклические относительно A (то есть порожденные некоторым вектором и его последовательными преобразованиями под действием A). Поскольку из данной матрицы можно получить только одну нормальную форму (отсюда и термин "каноническая"), матрица B подобна матрице A тогда и только тогда, когда она имеет ту же рациональную каноническую форму, что и A. Поскольку эта форма может быть найдена без операций, которые могут измениться при расширении поля F (отсюда и термин "рациональная"), в частности, без разложения многочленов на множители, это показывает, что вопрос о подобии двух матриц не зависит от расширения поля. Форма названа в честь немецкого математика Фердинанда Георга Фробениуса. Некоторые авторы используют термин "рациональная каноническая форма" для обозначения несколько иной формы, которую более корректно называть первичной рациональной канонической формой. В отличие от разложения на минимальное число циклических подпространств, первичная форма разлагается на максимальное число циклических подпространств. Она также определяется над F, но обладает несколько иными свойствами: для её нахождения требуется разложение многочленов на множители, и, как следствие, первичная рациональная каноническая форма может измениться, если одна и та же матрица рассматривается над расширением поля F. В данной статье в основном рассматривается форма, не требующая разложения на множители, и явно указывается "первичная", когда речь идет о форме, использующей разложение на множители.

Мотивация

При попытке выяснить, подобны ли две квадратные матрицы A и B, одним из подходов является попытка, для каждой из них, разложить векторное пространство настолько, насколько это возможно, в прямую сумму стабильных подпространств и сравнить соответствующие действия на этих подпространствах. Например, если обе диагонализуемы, то можно взять разложение на собственные пространства (для которых действие максимально простое, а именно умножение на скаляр), а затем о подобии можно судить, сравнивая собственные значения и их кратности. Хотя на практике это часто бывает весьма полезным подходом, он имеет различные недостатки как общий метод. Во-первых, требуется найти все собственные значения, скажем, как корни характеристического многочлена, но может оказаться невозможным получить для них явное выражение. Во-вторых, полный набор собственных значений может существовать только в расширении поля, над которым ведется работа, и тогда нельзя получить доказательство подобия над исходным полем. Наконец, матрицы A и B могут быть не диагонализуемы даже над этим расширенным полем, в этом случае вместо этого необходимо использовать разложение на обобщенные собственные пространства и, возможно, на блоки Жордана. Однако получение такого детального разложения не требуется для простой проверки подобия двух матриц. Рациональная каноническая форма основана на использовании разложения в прямую сумму стабильных подпространств, которые максимально велики, но при этом допускают очень простое описание действия на каждом из них. Эти подпространства должны быть порождены единственным ненулевым вектором v и всеми его образами, полученными путем многократного применения линейного оператора, связанного с матрицей; такие подпространства называются циклическими (по аналогии с циклическими подгруппами) и очевидно инвариантны относительно линейного оператора. Базис такого подпространства строится путем взятия v и его последовательных образов до тех пор, пока они линейно независимы. Матрица линейного оператора в этом базисе является сопутствующей матрицей моникского многочлена; этот многочлен (минимальный многочлен оператора, ограниченного подпространством, понятие которого аналогично порядку циклической подгруппы) определяет действие оператора на циклическом подпространстве с точностью до изоморфизма и не зависит от выбора вектора v, порождающего подпространство. Разложение в прямую сумму циклических подпространств всегда существует, и для его нахождения не требуется факторизация многочленов. Однако возможно, что циклические подпространства допускают разложение в прямую сумму меньших циклических подпространств (по сути, по китайской теореме об остатках). Поэтому одного лишь наличия для обеих матриц разложения пространства на циклические подпространства и знания соответствующих минимальных многочленов недостаточно для определения их подобия. Накладывается дополнительное условие, чтобы для подобных матриц получались разложения на циклические подпространства, которые точно соответствуют друг другу: в списке связанных минимальных многочленов каждый должен делить следующий (а постоянный многочлен 1 запрещен для исключения тривиальных циклических подпространств размерности 0). Полученный список многочленов называется инвариантными факторами (модуля K[X], определяемого матрицей), и две матрицы подобны тогда и только тогда, когда у них совпадают списки инвариантных факторов. Рациональная каноническая форма матрицы A получается путем представления ее в базисе, адаптированном к разложению на циклические подпространства, связанным минимальными многочленами которых являются инвариантные факторы A; две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же рациональную каноническую форму.

Рациональная нормальная форма, обобщающая нормальную форму Джордана

Нормальная форма Фробениуса не отражает никакой формы факторизации характеристического многочлена, даже если она существует над базовым полем F. Это означает, что она инвариантна при замене F другим полем (при условии, что оно содержит элементы исходной матрицы A). С другой стороны, это делает нормальную форму Фробениуса существенно отличной от других нормальных форм, которые зависят от факторизации характеристического многочлена, в частности, диагональной формы (если A диагонализируема) или, в более общем случае, нормальной формы Жордана (если характеристический многочлен разлагается на линейные множители). Например, нормальная форма Фробениуса диагональной матрицы с различными диагональными элементами является просто сопутствующей матрицей её характеристического многочлена. Существует другой способ определения нормальной формы, которая, как и нормальная форма Фробениуса, всегда определяется над тем же полем F, что и A, но которая отражает возможное разложение характеристического многочлена (или, эквивалентно, минимального многочлена) на неприводимые множители над F, и которая сводится к нормальной форме Жордана, когда это разложение содержит только линейные множители (соответствующие собственным значениям). Эта форма иногда называется обобщенной нормальной формой Жордана или первичной рациональной канонической формой. Она основана на том факте, что векторное пространство может быть канонически разложено на прямую сумму стабильных подпространств, соответствующих различным неприводимым множителям P характеристического многочлена (как указано в ), где характеристический многочлен каждого слагаемого является степенью соответствующего P. Эти слагаемые могут быть далее разложены, не канонически, как прямая сумма циклических модулей F[x] (как это делается для нормальной формы Фробениуса выше), где характеристический многочлен каждого слагаемого по-прежнему является (обычно меньшей) степенью P. Первичная рациональная каноническая форма — это блочно-диагональная матрица, соответствующая такому разложению на циклические модули, с конкретной формой, называемой обобщенным блоком Жордана, в диагональных блоках, соответствующей конкретному выбору базиса для циклических модулей. Этот обобщенный блок Жордана сам по себе является блочной матрицей вида, где C — сопутствующая матрица неприводимого многочлена P, а U — матрица, единственный ненулевой элемент которой равен 1 в правом верхнем углу. Для линейного неприводимого множителя эти блоки сводятся к отдельным элементам и , и можно найти (транспонированный) блок Жордана. В любом обобщенном блоке Жордана все элементы непосредственно ниже главной диагонали равны 1. Базис циклического модуля, порождающий эту форму, получается путем выбора порождающего вектора v (который не аннигилируется P^(k−1)(A), где минимальный многочлен циклического модуля равен P^(k)), и принятия в качестве базиса, где .