Микроканонический ансамбль: Состояние с точно заданной энергией.
Microcanonical ensemble
Микроканонический ансамбль в статистической механике: описание состояний системы с точно заданной энергией (NVE). Изолированные системы, энергия, объем, частицы.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Ансамбль состояний с точно заданной полной энергией
Ensemble of states with an exactly specified total energy
В статистической механике микроканонический ансамбль – это статистический ансамбль, представляющий возможные состояния механической системы, полная энергия которой точно задана. Предполагается, что система изолирована в том смысле, что она не может обмениваться энергией или частицами с окружающей средой, так что (в силу закона сохранения энергии) энергия системы не изменяется со временем. Основными макроскопическими переменными микроканонического ансамбля являются общее число частиц в системе (символ: N), объем системы (символ: V), а также полная энергия в системе (символ: E). Каждая из этих величин считается постоянной в ансамбле. По этой причине микроканонический ансамбль иногда называют ансамблем NVE. Проще говоря, микроканонический ансамбль определяется присвоением равной вероятности каждому микросостоянию, энергия которого попадает в диапазон, центрированный на E. Всем остальным микросостояниям присваивается вероятность, равная нулю. Поскольку вероятности должны суммироваться до 1, вероятность P является обратной величиной числа микросостояний W в пределах энергетического диапазона.
In statistical mechanics, the microcanonical ensemble is a statistical ensemble that represents the possible states of a mechanical system whose total energy is exactly specified. The system is assumed to be isolated in the sense that it cannot exchange energy or particles with its environment, so that (by conservation of energy) the energy of the system does not change with time. The primary macroscopic variables of the microcanonical ensemble are the total number of particles in the system (symbol: N), the system's volume (symbol: V), as well as the total energy in the system (symbol: E). Each of these is assumed to be constant in the ensemble. For this reason, the microcanonical ensemble is sometimes called the NVE ensemble. In simple terms, the microcanonical ensemble is defined by assigning an equal probability to every microstate whose energy falls within a range centered at E. All other microstates are given a probability of zero. Since the probabilities must add up to 1, the probability P is the inverse of the number of microstates W within the range of energy,
Диапазон энергии затем сужается по ширине до бесконечно малого, оставаясь центрированным на E. В пределе этого процесса получается микроканонический ансамбль. Он иногда рассматривается как фундаментальное распределение равновесной статистической механики. Он также полезен в некоторых численных приложениях, таких как молекулярная динамика. С другой стороны, большинство нетривиальных систем математически сложно описать в микроканоническом ансамбле, а также существуют неоднозначности в определениях энтропии и температуры. По этим причинам для теоретических расчетов часто предпочтительны другие ансамбли. Применимость микроканонического ансамбля к реальным системам зависит от значимости энергетических флуктуаций, которые могут быть вызваны взаимодействием системы с окружающей средой, а также неконтролируемыми факторами при подготовке системы. Как правило, флуктуации пренебрежимо малы, если система макроскопически велика или если она изготовлена с точно известной энергией и затем поддерживается в почти полной изоляции от окружающей среды. В таких случаях микроканонический ансамбль применим. В противном случае более подходящими являются другие ансамбли, такие как канонический ансамбль (с флуктуирующей энергией) или большой канонический ансамбль (с флуктуирующей энергией и числом частиц).
The range of energy is then reduced in width until it is infinitesimally narrow, still centered at E. In the limit of this process, the microcanonical ensemble is obtained. It is sometimes considered to be the fundamental distribution of equilibrium statistical mechanics. It is also useful in some numerical applications, such as molecular dynamics. On the other hand, most nontrivial systems are mathematically cumbersome to describe in the microcanonical ensemble, and there are also ambiguities regarding the definitions of entropy and temperature. For these reasons, other ensembles are often preferred for theoretical calculations. The applicability of the microcanonical ensemble to real world systems depends on the importance of energy fluctuations, which may result from interactions between the system and its environment as well as uncontrolled factors in preparing the system. Generally, fluctuations are negligible if a system is macroscopically large, or if it is manufactured with precisely known energy and thereafter maintained in near isolation from its environment. In such cases the microcanonical ensemble is applicable. Otherwise, different ensembles are more appropriate—such as the canonical ensemble (fluctuating energy) or the grand canonical ensemble (fluctuating energy and particle number).
Фазовые переходы
В соответствии с их строгим определением, фазовые переходы соответствуют неаналитическому поведению термодинамического потенциала или его производных. Используя это определение, фазовые переходы в микроканоническом ансамбле могут возникать в системах любого размера. Это отличается от канонического и большого канонического ансамблей, для которых фазовые переходы могут происходить только в термодинамическом пределе, то есть в системах с бесконечным числом степеней свободы. Грубо говоря, резервуары, определяющие канонический или большой канонический ансамбль, вносят флуктуации, которые "сглаживают" любое неаналитическое поведение свободной энергии конечных систем. Этот эффект сглаживания обычно пренебрежимо мал в макроскопических системах, которые достаточно велики, чтобы свободная энергия могла очень хорошо аппроксимировать неаналитическое поведение. Однако технические различия между ансамблями могут быть существенными при теоретическом анализе малых систем. Предпочтительным решением этих проблем является избегать использования микроканонического ансамбля. Во многих реалистичных случаях система термостатируется к тепловому резервуару, так что энергия известна неточно. Тогда более точным описанием является канонический или большой канонический ансамбль, оба из которых полностью соответствуют термодинамике.
Under their strict definition, phase transitions correspond to nonanalytic behavior in the thermodynamic potential or its derivatives. Using this definition, phase transitions in the microcanonical ensemble can occur in systems of any size. This contrasts with the canonical and grand canonical ensembles, for which phase transitions can occur only in the thermodynamic limit—i. e., in systems with infinitely many degrees of freedom. Roughly speaking, the reservoirs defining the canonical or grand canonical ensembles introduce fluctuations that "smooth out" any nonanalytic behavior in the free energy of finite systems. This smoothing effect is usually negligible in macroscopic systems, which are sufficiently large that the free energy can approximate nonanalytic behavior exceedingly well. However, the technical difference in ensembles may be important in the theoretical analysis of small systems. The preferred solution to these problems is avoid use of the microcanonical ensemble. In many realistic cases a system is thermostatted to a heat bath so that the energy is not precisely known. Then, a more accurate description is the canonical ensemble or grand canonical ensemble, both of which have complete correspondence to thermodynamics.