Введение

В комбинаторной математике экспоненциальная формула (в физике известная как расширение полимера) утверждает, что экспоненциальная производящая функция для структур на конечных множествах равна экспоненте от экспоненциальной производящей функции для связных структур. Экспоненциальная формула представляет собой степенной ряд, являющийся частным случаем формулы Фаа ди Бруно.

Комбинаторное толкование

В комбинаторных приложениях числа подсчитывают количество тех или иных "связных" структур на множестве из *n* точек, а числа – количество (возможно, несвязных) структур. Числа подсчитывают количество классов изоморфизма структур на *n* точках, где каждая структура взвешивается величиной, обратной порядку своей группы автоморфизмов, а числа подсчитывают классы изоморфизма связных структур тем же способом.

Примеры

Поскольку существует один разбиение множества, состоящее из одного блока размера , существуют три разбиения , которые разделяют его на блок размера и блок размера , и существует одно разбиение , которое разделяет его на три блока размера . Это также следует из , поскольку группу можно записать как , используя циклическую нотацию для перестановок. Если – это число графов, вершины которых заданы данным набором точек, то – это число связных графов, вершины которых заданы тем же набором точек. Существует множество вариаций предыдущего примера, в которых граф обладает определенными свойствами: например, если подсчитывает графы без циклов, то подсчитывает деревья (связные графы без циклов). Если подсчитывает ориентированные графы, ребра которых (а не вершины) заданы данным набором точек, то подсчитывает связные ориентированные графы с этим набором ребер. В квантовой теории поля и статистической механике функции распределения, или в более общем случае корреляционные функции, задаются формальным суммированием по диаграммам Фейнмана. Экспоненциальная формула показывает, что можно представить в виде суммы по связным диаграммам Фейнмана, выраженной через связные корреляционные функции.