Введение
Непараметрический метод для проверки того, происходят ли выборки из одного распределения. Тест Крускала-Уоллиса по рангам, тест Крускала-Уоллиса (названный в честь Уильяма Крускала и У. Аллена Уоллиса) или однофакторная ANOVA по рангам. Он используется для сравнения двух или более независимых выборок одинакового или различного размера. Он является расширением теста Манна-Уитни U, который используется для сравнения только двух групп. Параметрическим эквивалентом теста Крускала-Уоллиса является однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA). Значимый результат теста Крускала-Уоллиса указывает на то, что по крайней мере одна выборка стохастически доминирует над другой. Тест не определяет, где происходит это стохастическое доминирование или для скольких пар групп оно наблюдается. Для анализа конкретных пар выборок на предмет стохастического доминирования иногда используются тест Данна, парные тесты Манна-Уитни с поправкой Бонферрони или более мощный, но менее известный тест Коновера-Имана. Предполагается, что факторы существенно влияют на уровень отклика, и существует определенный порядок между ними: один фактор, как правило, дает наименьший отклик, другой – следующий по величине, и так далее. Поскольку это непараметрический метод, тест Крускала-Уоллиса не предполагает нормальное распределение остатков, в отличие от аналогичного однофакторного дисперсионного анализа. Если исследователь может предположить, что распределения для всех групп имеют одинаковую форму и масштаб, за исключением возможных различий в медианах, то нулевая гипотеза заключается в том, что медианы всех групп равны, а альтернативная гипотеза – в том, что медиана хотя бы одной популяции отличается от медианы хотя бы одной другой популяции. В противном случае невозможно определить, связано ли отклонение нулевой гипотезы со сдвигом в расположении или с разбросом групп. Это та же проблема, что возникает и при тесте Манна-Уитни. Если данные содержат потенциальные выбросы, если распределения популяций имеют тяжелые хвосты или если распределения популяций значительно скошены, тест Крускала-Уоллиса более эффективно выявляет различия между факторами, чем F-тест ANOVA. С другой стороны, если распределения популяций нормальные или имеют легкие хвосты и симметричны, то F-тест ANOVA, как правило, обладает большей мощностью, то есть вероятностью отклонить нулевую гипотезу, когда это действительно необходимо.
The Kruskal–Wallis test by ranks, Kruskal–Wallis test (named after William Kruskal and W. Allen Wallis), or one way ANOVA on ranks It is used for comparing two or more independent samples of equal or different sample sizes. It extends the Mann–Whitney U test, which is used for comparing only two groups. The parametric equivalent of the Kruskal–Wallis test is the one way analysis of variance (ANOVA). A significant Kruskal–Wallis test indicates that at least one sample stochastically dominates one other sample. The test does not identify where this stochastic dominance occurs or for how many pairs of groups stochastic dominance obtains. For analyzing the specific sample pairs for stochastic dominance, Dunn's test, pairwise Mann–Whitney tests with Bonferroni correction, or the more powerful but less well known Conover–Iman test are sometimes used. It is supposed that the treatments significantly affect the response level and then there is an order among the treatments: one tends to give the lowest response, another gives the next lowest response is second, and so forth. Since it is a nonparametric method, the Kruskal–Wallis test does not assume a normal distribution of the residuals, unlike the analogous one way analysis of variance. If the researcher can make the assumptions of an identically shaped and scaled distribution for all groups, except for any difference in medians, then the null hypothesis is that the medians of all groups are equal, and the alternative hypothesis is that at least one population median of one group is different from the population median of at least one other group. Otherwise, it is impossible to say, whether the rejection of the null hypothesis comes from the shift in locations or group dispersions. This is the same issue that happens also with the Mann Whitney test. If the data contains potential outliers, if the population distributions have heavy tails, or if the population distributions are significantly skewed, the Kruskal Wallis test is more powerful at detecting differences among treatments than ANOVA F test. On the other hand, if the population distributions are normal or are light tailed and symmetric, then ANOVA F test will generally have greater power which is the probability of rejecting the null hypothesis when it indeed should be rejected.
Точное распределение H
Чой и др. провели обзор двух методов, разработанных для вычисления точного распределения, предложили новый метод и сравнили точное распределение с его аппроксимацией хи-квадрат.
Реализация
Тест Крускала-Уоллиса может быть реализован во многих инструментах и языках программирования. Mathematica реализует тест как LocationEquivalenceTest. В Statistics Toolbox MATLAB есть функция kruskalwallis для вычисления p-значения для проверки гипотезы и отображения таблицы ANOVA. SAS использует процедуру "NPAR1WAY" для проведения теста. SPSS реализует тест с помощью процедуры "Непараметрические тесты". Minitab имеет реализацию в опции "Непараметрические методы". В пакете SciPy для Python функция scipy.stats.kruskal может возвращать результат теста и p-значение. Базовый пакет R содержит реализацию этого теста с использованием kruskal.test. Java предоставляет реализацию от Apache Commons. В Julia пакет HypothesisTests.jl имеет функцию KruskalWallisTest(groups::AbstractVector{<:Real}) для вычисления p-значения.