Введение
Янг–Миллс–Хиггс магнитный монополь
В теоретической физике, монополь t’ Хоофта–Полякова — это топологический солитон, подобный монополю Дирака, но лишенный дираковской струны. Он возникает в теории Янга–Миллса с калибровочной группой, связанной с полем Хиггса, которое спонтанно разрушает её до меньшей группы посредством механизма Хиггса. Впервые он был независимо обнаружен Жераром т’ Хоофтом и Александром Поляковым. В отличие от монополя Дирака, монополь t’ Хоофта–Полякова является гладким решением с конечной полной энергией. Решение локализовано вблизи начала координат. На очень больших расстояниях от начала координат калибровочная группа разрушается до , и монополь t’ Хоофта–Полякова сводится к монополю Дирака. Однако, в самой точке начала координат калибровочная симметрия не нарушена, и решение не является сингулярным также вблизи начала координат. Поле Хиггса, пропорционально , где присоединенные индексы отождествляются с трехмерными пространственными индексами. Калибровочное поле на бесконечности таково, что зависимость поля Хиггса от угловых направлений является чисто калибровочной. Точная конфигурация поля Хиггса и калибровочного поля вблизи начала координат такова, что она удовлетворяет полным уравнениям движения Янга–Миллса–Хиггса.
Yang–Mills–Higgs magnetic monopole
In theoretical physics, the t Hooft–Polyakov monopole is a topological soliton similar to the Dirac monopole but without the Dirac string. It arises in the case of a Yang–Mills theory with a gauge group , coupled to a Higgs field which spontaneously breaks it down to a smaller group via the Higgs mechanism. It was first found independently by Gerard 't Hooft and Alexander Polyakov. Unlike the Dirac monopole, the 't Hooft–Polyakov monopole is a smooth solution with a finite total energy. The solution is localized around Very far from the origin, the gauge group is broken to , and the 't Hooft–Polyakov monopole reduces to the Dirac monopole. However, at the origin itself, the gauge symmetry is unbroken and the solution is non singular also near the origin. The Higgs field ,
is proportional to ,
where the adjoint indices are identified with the three dimensional spatial indices. The gauge field at infinity is such that the Higgs field's dependence on the angular directions is pure gauge. The precise configuration for the Higgs field and the gauge field near the origin is such that it satisfies the full Yang–Mills–Higgs equations of motion.
Математические детали
Предположим, что вакуум есть вакуумное многообразие. Тогда, при конечных энергиях, по мере продвижения в любом направлении к пространственной бесконечности, состояние вдоль траектории приближается к точке на вакуумном многообразии. В противном случае энергия была бы бесконечной. В топологически тривиальных 3+1 измерениях это означает, что пространственная бесконечность гомотопически эквивалентна топологической сфере. Следовательно, секторы суперселекции классифицируются второй гомотопической группой . В частном случае теории Янга — Миллса — Хиггса, вакуумное многообразие изоморфно фактор-пространству , а соответствующая гомотопическая группа равна . Это не требует обязательного существования скалярного поля Хиггса. Большинство механизмов спонтанного нарушения симметрии (например, техниколор) также приводят к монополю 't Hooft — Полякова. Обобщение на случай измерений не представляет труда. Мы имеем .
In the special case of a Yang–Mills–Higgs theory, the vacuum manifold is isomorphic to the quotient space and the relevant homotopy group is This does not actually require the existence of a scalar Higgs field. Most symmetry breaking mechanisms (e. g. technicolor) would also give rise to a 't Hooft–Polyakov monopole. It is easy to generalize to the case of dimensions. We have .
Проблема монополии
"Проблема монополей" относится к космологическим последствиям теорий великого объединения (GUT). Поскольку монополи обычно образуются в GUT в процессе охлаждения Вселенной, а поскольку они, как ожидается, обладают значительной массой, их существование может привести к гравитационному коллапсу Вселенной. Это рассматривается как "проблема" в рамках стандартной теории Большого взрыва. Космическая инфляция решает эту проблему, разбавляя любую первичную концентрацию магнитных монополей.