Введение

Феномен движения волн

Дифракция – это интерференция или огибание волн вокруг углов препятствия или через отверстие в область геометрической тени, создаваемую препятствием/отверстием. Дифракционный объект или апертура эффективно становятся вторичным источником распространяющейся волны. Итальянский ученый Франческо Мария Гримальди ввел термин «дифракция» и впервые зафиксировал точные наблюдения этого явления в 1660 году. В классической физике явление дифракции описывается принципом Гюйгенса-Френеля, который рассматривает каждую точку распространяющегося волнового фронта как совокупность отдельных сферических волночек. Характерная картина огибания наиболее выражена, когда волна от когерентного источника (например, лазера) встречает щель/апертуру, размер которой сопоставим с ее длиной волны, как показано на вставленном изображении. Это происходит из-за сложения, или интерференции, различных точек на волновом фронте (или, эквивалентно, каждой волночки), которые проходят по путям разной длины до регистрирующей поверхности. Если имеется несколько близко расположенных отверстий (например, дифракционная решетка), может образоваться сложная картина с переменной интенсивностью. Эти эффекты также возникают, когда световая волна проходит через среду с переменным показателем преломления, или когда звуковая волна проходит через среду с переменным акустическим импедансом – все волны подвергаются дифракции, включая гравитационные волны, водные волны и другие электромагнитные волны, такие как рентгеновские лучи и радиоволны. Более того, квантовая механика демонстрирует, что материя обладает волновыми свойствами и, следовательно, также подвергается дифракции (которая измерима на субатомном и молекулярном уровнях). Степень дифракции зависит от размера зазора. Дифракция максимальна, когда размер зазора сопоставим с длиной волны волны. В этом случае, проходя через зазор, волны приобретают полуциркулярную форму.

История

Да Винчи, возможно, наблюдал дифракцию в виде расширения тени. Эффекты дифракции света были впервые тщательно изучены и описаны Франческо Марией Гримальди, который также ввёл термин «дифракция», происходящий от латинского diffringere, что означает «разбивать на части», описывая разделение света на различные направления. Результаты наблюдений Гримальди были опубликованы посмертно в 1665 году. Исаак Ньютон исследовал эти эффекты и приписывал их изгибу световых лучей. Джеймс Грегори (1638–1675) наблюдал дифракционные картины, создаваемые птичьим пером, что фактически стало первой обнаруженной дифракционной решёткой. Томас Янг в 1803 году провёл знаменитый эксперимент, демонстрирующий интерференцию от двух близко расположенных щелей. Объясняя свои результаты интерференцией волн, исходящих из этих двух щелей, он пришёл к выводу, что свет должен распространяться в виде волн. Огюстен Жан Френель провёл более точные исследования и расчёты дифракции, опубликованные в 1816 и 1818 годах, и тем самым оказал значительную поддержку волновой теории света, предложенной Кристианом Гюйгенсом и возрождённой Янгом, в противовес корпускулярной теории света Ньютона.

Механизм

В классической физике дифракция возникает из-за способа распространения волн; это описывается принципом Гюйгенса-Френеля и принципом суперпозиции волн. Распространение волны можно представить, рассматривая каждую частицу среды на волновом фронте как точечный источник вторичной сферической волны. Смещение волны в любой последующей точке является суммой этих вторичных волн. При сложении волн их результирующая амплитуда определяется как относительными фазами, так и амплитудами отдельных волн, поэтому суммарная амплитуда может принимать любое значение от нуля до суммы амплитуд отдельных волн. Следовательно, дифракционные картины обычно состоят из серии максимумов и минимумов. В современном квантово-механическом понимании распространения света через щель (или щели) каждый фотон описывается своей волновой функцией, которая определяет распределение вероятности обнаружения фотона: светлые и темные полосы соответствуют областям, где фотоны обнаруживаются с большей или меньшей вероятностью. Волновая функция определяется физическими условиями, такими как геометрия щели, расстояние до экрана и начальные условия при создании фотона. Волновая природа отдельных фотонов (в отличие от волновых свойств, возникающих только при взаимодействии множества фотонов) была продемонстрирована в эксперименте с двумя щелями низкой интенсивности, впервые проведенном Г. И. Тейлором в 1909 году. Квантовый подход имеет поразительное сходство с принципом Гюйгенса-Френеля; согласно этому принципу, при прохождении света через щели и границы возникают вторичные точечные источники света вблизи или вдоль этих препятствий, а результирующая дифракционная картина представляет собой профиль интенсивности, основанный на когерентной интерференции всех этих источников света с различными оптическими путями. В квантовом формализме это аналогично рассмотрению ограниченных областей вокруг щелей и границ, из которых фотоны с большей вероятностью исходят, и вычислению распределения вероятности (которое пропорционально результирующей интенсивности в классическом формализме). Существуют различные аналитические модели, позволяющие рассчитать дифракционное поле, включая уравнение дифракции Кирхгофа (выведенное из волнового уравнения), дифракционное приближение Фраунгофера для уравнения Кирхгофа (применимое к дальней зоне), дифракционное приближение Френеля (применимое к ближней зоне) и интегральную формулировку Фейнмана. Большинство конфигураций не могут быть решены аналитически, но могут быть получены численные решения с использованием метода конечных элементов и метода граничных элементов. Качественное понимание многих дифракционных явлений можно получить, рассматривая изменение относительных фаз отдельных вторичных источников волн и, в частности, условия, при которых разность фаз равна половине длины волны, в этом случае волны будут гасить друг друга. Наиболее простые описания дифракции относятся к случаям, когда ситуацию можно свести к двумерной задаче. Для волн на воде это уже так, поскольку они распространяются только по поверхности воды. Для света мы часто можем пренебречь одним направлением, если дифракционный объект простирается в этом направлении на расстояние, значительно превышающее длину волны. В случае света, проходящего через небольшие круглые отверстия, необходимо учитывать полную трехмерную природу задачи.

Примеры

Эффекты дифракции часто наблюдаются в повседневной жизни. Наиболее яркими примерами дифракции являются явления, связанные со светом; например, плотно расположенные дорожки на CD или DVD действуют как дифракционная решетка, формируя привычный радужный узор, видимый при взгляде на диск. Этот принцип можно расширить для создания решетки с определенной структурой, способной формировать любой желаемый дифракционный рисунок; голограмма на кредитной карте – один из примеров. Дифракция в атмосфере на мелких частицах может вызывать корону – яркий диск и кольца вокруг яркого источника света, такого как солнце или луна. В противоположной точке можно также наблюдать славу – яркие кольца вокруг тени наблюдателя. В отличие от короны, для возникновения славы частицы должны быть прозрачными сферами (например, капли тумана), поскольку обратное рассеяние света, формирующее славу, включает в себя преломление и внутреннее отражение внутри капли. Тень от твердого объекта, освещенного компактным источником света, демонстрирует небольшие интерференционные полосы у краев. Дифракционные лучи – это дифракционные узоры, вызванные нециркулярным отверстием объектива камеры или опорными элементами телескопа; при нормальном зрении такие лучи могут возникать из-за дифракции света на ресницах. Пятнистый рисунок, наблюдаемый при падении лазерного луча на оптически шероховатую поверхность, также является дифракционным явлением. Иризация мясных деликатесов объясняется дифракцией света на волокнах мяса. Все эти эффекты являются следствием волновой природы света. Дифракция может происходить с любым типом волны. Океанские волны огибают пирсы и другие препятствия. Звуковые волны могут огибать объекты, поэтому можно слышать зовущего, даже прячась за деревом. Дифракция также может быть проблемой в некоторых технических приложениях, поскольку она устанавливает фундаментальный предел разрешения камеры, телескопа или микроскопа. Другие примеры дифракции рассматриваются ниже.

Дифракция с одной щелью

Длинная щель бесконечно малой ширины, освещаемая светом, дифрагирует свет в серию круговых волн, а волновой фронт, выходящий из щели, представляет собой цилиндрическую волну с равномерной интенсивностью в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля. Освещенная щель, ширина которой превышает длину волны, создает интерференционные эффекты в пространстве за щелью. Если предположить, что щель ведет себя как совокупность большого числа точечных источников, равномерно распределенных по ширине щели, можно рассчитать интерференционную картину. Анализ этой системы упрощается, если рассматривать свет с одной длиной волны. Если падающий свет когерентен, все эти источники находятся в одинаковой фазе. Свет, достигающий данной точки в пространстве за щелью, является результатом суперпозиции вкладов от каждого из этих точечных источников, и если относительные фазы этих вкладов различаются на λ или более, можно ожидать обнаружения минимумов и максимумов в дифрагированном свете. Такие разности фаз обусловлены различиями в оптических путях, пройденных лучами от щели до этой точки. Угол, при котором достигается первый минимум в дифрагированном свете, можно определить следующим образом. Свет от источника, расположенного на верхнем крае щели, интерферирует деструктивно с источником, расположенным в середине щели, когда разность хода между ними равна λ. Аналогично, источник, расположенный непосредственно под верхним краем щели, будет интерферировать деструктивно с источником, расположенным непосредственно под серединой щели, при том же угле. Продолжая это рассуждение по всей высоте щели, можно заключить, что условие деструктивной интерференции для всей щели эквивалентно условию деструктивной интерференции между двумя узкими щелями, расположенными на расстоянии, равном половине ширины щели. Разность хода приблизительно равна λ/2, поэтому минимальная интенсивность достигается при угле, определяемом формулой:

где a – ширина щели, θ – угол, при котором наблюдается минимальная интенсивность, а λ – длина волны света. Аналогичным образом можно показать, что если представить щель разделенной на четыре, шесть, восемь и т.д. частей, то минимумы будут наблюдаться при углах, задаваемых формулой:

где m – целое число, отличное от нуля. Не существует простого аргумента для определения положения максимумов дифракционной картины. Профиль интенсивности можно рассчитать, используя уравнение дифракции Фраунгофера:

где I(θ) – интенсивность под заданным углом, I₀ – интенсивность центрального максимума, которая также является нормализующим фактором для профиля интенсивности и может быть определена путем интегрирования от -∞ до +∞ с учетом закона сохранения энергии, а sinc(x) – ненормализованная функция sinc. Этот анализ применим только к дифракции Фраунгофера (дальнее поле), то есть на расстоянии, значительно превышающем ширину щели. Из приведенного выше профиля интенсивности следует, что если a >> λ, интенсивность будет слабо зависеть от θ, и волновой фронт, выходящий из щели, будет напоминать цилиндрическую волну с азимутальной симметрией; если a << λ, значительную интенсивность будет иметь только θ = 0, и волновой фронт, выходящий из щели, будет соответствовать волновой оптике. Когда угол падения света на щель θ₀ отличен от нуля (что приводит к изменению оптического пути), профиль интенсивности в режиме Фраунгофера (т.е. в дальнем поле) принимает вид:

Выбор знака плюс или минус зависит от определения угла падения θ₀.

Дифракционная решетка

Дифракционная решетка – это оптический компонент с регулярной структурой. Форма света, дифрагированного решеткой, зависит от структуры элементов и их количества, но для всех решеток существуют максимумы интенсивности при углах θm, определяемые уравнением решетки:

где – угол падения света, – расстояние между элементами решетки, а – целое число, которое может быть как положительным, так и отрицательным. Дифрагированный решеткой свет определяется суммированием света, дифрагированного от каждого элемента, и по сути представляет собой свертку дифракционной и интерференционной картин. На рисунке показано дифрагированное излучение для решеток с двумя и пятью элементами, имеющих одинаковое расстояние между элементами; видно, что положения максимумов совпадают, однако детальная структура интенсивностей различна.

Круговая диафрагма

Дифракция дальнего поля плоской волны, падающей на круговую апертуру, часто называется диском Эйри. Зависимость интенсивности от угла описывается выражением

где – радиус круговой апертуры, = , а J₀ – функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Чем меньше апертура, тем больше размер пятна на заданном расстоянии и тем больше расходимость дифрагированных лучей.

Распространение лазерного луча

Способ изменения профиля пучка лазерного луча по мере его распространения определяется дифракцией. Когда весь излучаемый луч имеет плоскую, пространственно когерентную волновой фронт, он приближается к гауссовому профилю пучка и имеет наименьшую дивергенцию для заданного диаметра. Чем меньше диаметр выходного пучка, тем быстрее он расходится. Возможно уменьшить дивергенцию лазерного луча, сначала расширив его с помощью одной выпуклой линзы, а затем сколлимировав его второй выпуклой линзой, фокус которой совпадает с фокусом первой линзы. В результате получается луч большего диаметра и, следовательно, с меньшей дивергенцией. Дивергенция лазерного луча может быть уменьшена ниже дифракционного предела гауссового луча или даже обращена в сходимость, если показатель преломления среды распространения увеличивается с ростом интенсивности света. Это может привести к эффекту самофокусировки. Когда волновой фронт излучаемого пучка имеет возмущения, при определении дивергенции лазерного луча следует учитывать только длину поперечной когерентности (где возмущение волнового фронта меньше 1/4 длины волны) в качестве диаметра гауссианского пучка. Если длина поперечной когерентности в вертикальном направлении больше, чем в горизонтальном, дивергенция лазерного луча в вертикальном направлении будет меньше, чем в горизонтальном.

Дифракционная визуализация

Способность системы визуализации разрешать детали в конечном итоге ограничена дифракцией. Это происходит потому, что плоская волна, падающая на круглую линзу или зеркало, дифрактируется, как описано выше. Свет не фокусируется в точку, а формирует диск Эйри, имеющий центральное пятно в фокальной плоскости, радиус которого (измеренный до первого минимума) равен

где – длина волны света, а – число f (фокусное расстояние, деленное на диаметр апертуры) оптической системы визуализации; это строго справедливо для (параксиального случая). В объектном пространстве соответствующее угловое разрешение равно

где – диаметр входного зрачка объектива (например, главного зеркала телескопа). Два точечных источника каждый создают картину Эйри – см. фотографию двойной звезды. По мере сближения точечных источников картины начнут перекрываться, и в конечном итоге сольются в единую картину, в этом случае два точечных источника не смогут быть разрешены на изображении. Критерий Рэлея определяет, что два точечных источника считаются "разрешенными", если расстояние между двумя изображениями составляет не менее радиуса диска Эйри, то есть если первый минимум одного совпадает с максимумом другого. Таким образом, чем больше апертура линзы по сравнению с длиной волны, тем выше разрешение системы визуализации. Это одна из причин, по которой астрономические телескопы требуют больших объективов, а объективы микроскопов – большой числовой апертуры (большой диаметр апертуры по сравнению с рабочим расстоянием) для достижения максимально возможного разрешения.

Пятнистые узоры

Пятнистый рисунок, наблюдаемый при использовании лазерной указки, является еще одним явлением дифракции. Он возникает в результате суперпозиции множества волн с различными фазами, которые формируются при освещении шероховатой поверхности лазерным лучом. Эти волны складываются, создавая результирующую волну, амплитуда – и, следовательно, интенсивность – которой меняется случайным образом.

Принцип Бабине

Принцип Бабине — полезная теорема, утверждающая, что дифракционная картина, создаваемая непрозрачным телом, идентична дифракционной картине, создаваемой отверстием того же размера и формы, но с отличающейся интенсивностью. Это означает, что условия интерференции, возникающие при наличии одинокого препятствия, будут такими же, как и при наличии одинокой щели.

"Край ножа"

Эффект острого края или дифракция на остром крае – это усечение части падающего излучения, попадающего на резкое, чётко очерченное препятствие, такое как горный хребет или стена здания. Эффект острого края объясняется принципом Гюйгенса–Френеля, который утверждает, что чётко определённое препятствие для электромагнитной волны действует как вторичный источник и создаёт новый волновой фронт. Этот новый волновой фронт распространяется в геометрическую область тени, отбрасываемую препятствием. Дифракция на остром крае является развитием "задачи о полуплоскости", первоначально решённой Арнольдом Зоммерфельдом с использованием формулировки спектра плоских волн. Обобщением задачи о полуплоскости является "задача о клине", решаемая как краевая задача в цилиндрических координатах. Решение в цилиндрических координатах было затем распространено на оптический диапазон Джозефом Б. Келлером, который ввёл понятие дифракционных коэффициентов в рамках своей геометрической теории дифракции (GTD). Патак и Куйомджан расширили (сингулярные) коэффициенты Келлера с помощью унифицированной теории дифракции (UTD).

Дифракция волны материи

Согласно квантовой теории, каждая частица проявляет волновые свойства и, следовательно, может дифрагировать. Дифракция электронов и нейтронов является одним из веских аргументов в пользу квантовой механики. Длина волны, связанная с частицей, называется длиной волны де Бройля, где *h* – постоянная Планка, а *p* – импульс частицы (масса, умноженная на скорость для медленно движущихся частиц). Например, атом натрия, движущийся со скоростью около 300 м/с, имеет длину волны де Бройля примерно 50 пикометров. Дифракция материи наблюдалась для небольших частиц, таких как электроны, нейтроны, атомы и даже крупных молекул. Небольшая длина волны этих материи делает их идеально подходящими для изучения атомной кристаллической структуры твердых тел, малых молекул и белков.

Дифракция перед уничтожением

С 2010-х годов появился новый метод визуализации отдельных биологических частиц, использующий мощные рентгеновские лучи, генерируемые лазерами на свободных электронах. Эти импульсы длительностью в фемтосекунды позволят (потенциально) визуализировать отдельные биологические макромолекулы. Благодаря столь коротким импульсам удастся обойти проблему радиационного повреждения и получить дифракционные картины отдельных биологических макромолекул.