Полное внутреннее отражение волн

Введение

Полное отражение волны

В физике, полное внутреннее отражение (TIR) — это явление, при котором волны, приходящие на границу раздела между двумя средами (например, от воды к воздуху), не преломляются во вторую («внешнюю») среду, а полностью отражаются обратно в первую («внутреннюю») среду. Это происходит, когда вторая среда имеет более высокую скорость распространения волн (т.е. более низкий показатель преломления), чем первая, и волны падают на границу под достаточно большим углом. Например, поверхность воды и воздуха в типичном аквариуме, если смотреть на нее сбоку снизу, отражает подводную сцену как зеркало без потери яркости (рис. 1). TIR возникает не только для электромагнитных волн, таких как свет и микроволны, но и для других типов волн, включая звуковые и водные волны. Если волны способны формировать узкий пучок (рис. 2), отражение обычно описывается в терминах «лучей», а не волн; в среде, чьи свойства не зависят от направления, например, в воздухе, воде или стекле, «лучи» перпендикулярны соответствующим волновым фронтам. Преломление обычно сопровождается частичным отражением. Когда волны преломляются из среды с более низкой скоростью распространения (более высоким показателем преломления) в среду с более высокой скоростью распространения (более низким показателем преломления) — например, от воды к воздуху — угол преломления (между исходящим лучом и нормалью к поверхности) больше, чем угол падения (между входящим лучом и нормалью). По мере приближения угла падения к определенному пороговому значению, называемому критическим углом, угол преломления приближается к 90°, при котором преломленный луч становится параллельным границе раздела. При увеличении угла падения за пределы критического угла условия преломления больше не могут быть выполнены, поэтому преломленного луча не существует, и частичное отражение становится полным. Для видимого света критический угол составляет около 49° при переходе из воды в воздух и около 42° при переходе из обычного стекла в воздух. Детали механизма TIR приводят к более тонким явлениям. Хотя полное отражение, по определению, не предполагает непрерывного потока энергии через границу раздела между двумя средами, внешняя среда переносит так называемую затухающую волну, которая распространяется вдоль границы с амплитудой, экспоненциально уменьшающейся с расстоянием от границы. «Полное» отражение действительно является полным, если внешняя среда не поглощает энергию (совершенно прозрачна), непрерывна и простирается до бесконечности, но может быть значительно меньше полного, если затухающая волна поглощается поглощающей внешней средой («аттенуированное полное отражение»), или отклоняется внешней границей внешней среды или объектами, находящимися в этой среде («фрагментированное» TIR). В отличие от частичного отражения между прозрачными средами, полное внутреннее отражение сопровождается нетривиальным сдвигом фазы (не только нулевым или 180°) для каждой компоненты поляризации (перпендикулярной или параллельной плоскости падения), и сдвиги изменяются в зависимости от угла падения. Объяснение этого эффекта Огюстеном Жаном Френелем в 1823 году добавило доказательств в пользу волновой теории света. Фазовые сдвиги используются в изобретении Френеля — ромбе Френеля — для изменения поляризации. Эффективность полного внутреннего отражения используется в оптических волокнах (применяемых в телекоммуникационных кабелях и в фиброскопах для формирования изображения) и в отражающих призмах, таких как призма Порро для монокуляров и биноклей.

In physics, total internal reflection (TIR) is the phenomenon in which waves arriving at the interface (boundary) from one medium to another (e. g., from water to air) are not refracted into the second ("external") medium, but completely reflected back into the first ("internal") medium. It occurs when the second medium has a higher wave speed (i. e., lower refractive index) than the first, and the waves are incident at a sufficiently oblique angle on the interface. For example, the water to air surface in a typical fish tank, when viewed obliquely from below, reflects the underwater scene like a mirror with no loss of brightness (Fig.1). TIR occurs not only with electromagnetic waves such as light and microwaves, but also with other types of waves, including sound and water waves. If the waves are capable of forming a narrow beam (Fig.2), the reflection tends to be described in terms of "rays" rather than waves; in a medium whose properties are independent of direction, such as air, water or glass, the "rays" are perpendicular to associated wavefronts. Refraction is generally accompanied by partial reflection. When waves are refracted from a medium of lower propagation speed (higher refractive index) to a medium of higher propagation speed (lower refractive index)—e. g., from water to air—the angle of refraction (between the outgoing ray and the surface normal) is greater than the angle of incidence (between the incoming ray and the normal). As the angle of incidence approaches a certain threshold, called the critical angle, the angle of refraction approaches 90°, at which the refracted ray becomes parallel to the boundary surface. As the angle of incidence increases beyond the critical angle, the conditions of refraction can no longer be satisfied, so there is no refracted ray, and the partial reflection becomes total. For visible light, the critical angle is about 49° for incidence from water to air, and about 42° for incidence from common glass to air. Details of the mechanism of TIR give rise to more subtle phenomena. While total reflection, by definition, involves no continuing flow of power across the interface between the two media, the external medium carries a so called evanescent wave, which travels along the interface with an amplitude that falls off exponentially with distance from the interface. The "total" reflection is indeed total if the external medium is lossless (perfectly transparent), continuous, and of infinite extent, but can be conspicuously less than total if the evanescent wave is absorbed by a lossy external medium ("attenuated total reflectance"), or diverted by the outer boundary of the external medium or by objects embedded in that medium ("frustrated" TIR). Unlike partial reflection between transparent media, total internal reflection is accompanied by a non trivial phase shift (not just zero or 180°) for each component of polarization (perpendicular or parallel to the plane of incidence), and the shifts vary with the angle of incidence. The explanation of this effect by Augustin Jean Fresnel, in 1823, added to the evidence in favor of the wave theory of light. The phase shifts are used by Fresnel's invention, the Fresnel rhomb, to modify polarization. The efficiency of the total internal reflection is exploited by optical fibers (used in telecommunications cables and in image forming fiberscopes), and by reflective prisms, such as image erecting Porro/roof prisms for monoculars and binoculars.

Примеры повседневного использования

Когда вы стоите рядом с аквариумом, смотря глазами ниже уровня воды, вы, скорее всего, увидите рыбу или подводные объекты, отраженные на поверхности раздела воды и воздуха (рис. 1). Яркость отраженного изображения – такая же, как и при "прямом" взгляде – может удивить. Подобный эффект можно наблюдать, открывая глаза во время плавания чуть ниже поверхности воды. Если вода спокойна, поверхность за пределами критического угла (измеряемого от вертикали) выглядит как зеркало, отражая объекты, находящиеся под водой. Область над водой не видна, за исключением над головой, где полусферическое поле зрения сжимается в коническое поле, известное как окно Снелла, угловой диаметр которого вдвое превышает критический угол (см. рис. 6). Теоретически поле зрения над водой составляет 180°, но оно кажется меньше, поскольку при взгляде ближе к горизонту вертикальный размер сильнее сжимается из-за преломления; например, согласно Eq., для углов падения воздуха на воду 90°, 80° и 70°, соответствующие углы преломления составляют 48,6° (θcr на рис. 6), 47,6° и 44,8°, что указывает на то, что изображение точки, находящейся на 20° выше горизонта, находится на расстоянии 3,8° от края окна Снелла, а изображение точки, находящейся на 10° выше горизонта, – всего на 1° от края. Например, на рис. 7 представлена фотография, сделанная у дна неглубокой части бассейна. Широкая горизонтальная полоса на правой стене состоит из нижних краев ряда оранжевых плиток и их отражений; это отмечает уровень воды, который затем можно проследить по другой стене. Пловчиха потревожила поверхность над собой, исказив нижнюю половину своего отражения и деформировав отражение лестницы (справа). Однако большая часть поверхности остается спокойной, обеспечивая четкое отражение плиточного дна бассейна. Пространство над водой не видно, за исключением верхней части кадра, где ручки лестницы едва различимы над краем окна Снелла – внутри которого отражение дна бассейна лишь частично, но все же заметно на фотографии. Можно даже различить цветовую окантовку края окна Снелла из-за изменения показателя преломления, а следовательно, и критического угла, в зависимости от длины волны (см. Дисперсия). Критический угол влияет на углы, под которыми ограняют драгоценные камни. Круглая "бриллиантовая" огранка, например, предназначена для преломления света, падающего на передние грани, отражения его дважды посредством полного внутреннего отражения от задних граней и повторной передачи через передние грани, чтобы камень выглядел ярким. Алмаз (рис. 8) особенно хорошо подходит для этой обработки, поскольку его высокий показатель преломления (около 2,42) и, следовательно, небольшой критический угол (около 24,5°) обеспечивают желаемый эффект в широком диапазоне углов обзора. Более дешевые материалы, также подходящие для этой обработки, включают кубический цирконий (показатель преломления ≈ 2,15) и муассанит (анизотропный, следовательно, двойственно преломляющий, с показателем преломления от 2,65 до 2,69 в зависимости от направления и поляризации); оба эти материала поэтому популярны в качестве имитаций алмаза.

When standing beside an aquarium with one's eyes below the water level, one is likely to see fish or submerged objects reflected in the water air surface (Fig.1). The brightness of the reflected image – just as bright as the "direct" view – can be startling. A similar effect can be observed by opening one's eyes while swimming just below the water's surface. If the water is calm, the surface outside the critical angle (measured from the vertical) appears mirror like, reflecting objects below. The region above the water cannot be seen except overhead, where the hemispherical field of view is compressed into a conical field known as Snell's window, whose angular diameter is twice the critical angle (cf. Fig.6). The field of view above the water is theoretically 180° across, but seems less because as we look closer to the horizon, the vertical dimension is more strongly compressed by the refraction; e. g., by Eq. , for air to water incident angles of 90°, 80°, and 70°, the corresponding angles of refraction are 48.6° (θcr in Fig.6), 47.6°, and 44.8°, indicating that the image of a point 20° above the horizon is 3.8° from the edge of Snell's window while the image of a point 10° above the horizon is only 1° from the edge. Fig.7, for example, is a photograph taken near the bottom of the shallow end of a swimming pool. What looks like a broad horizontal stripe on the right hand wall consists of the lower edges of a row of orange tiles, and their reflections; this marks the water level, which can then be traced across the other wall. The swimmer has disturbed the surface above her, scrambling the lower half of her reflection, and distorting the reflection of the ladder (to the right). But most of the surface is still calm, giving a clear reflection of the tiled bottom of the pool. The space above the water is not visible except at the top of the frame, where the handles of the ladder are just discernible above the edge of Snell's window – within which the reflection of the bottom of the pool is only partial, but still noticeable in the photograph. One can even discern the color fringing of the edge of Snell's window, due to variation of the refractive index, hence of the critical angle, with wavelength (see Dispersion). The critical angle influences the angles at which gemstones are cut. The round "brilliant" cut, for example, is designed to refract light incident on the front facets, reflect it twice by TIR off the back facets, and transmit it out again through the front facets, so that the stone looks bright. Diamond (Fig.8) is especially suitable for this treatment, because its high refractive index (about 2.42) and consequently small critical angle (about 24.5°) yield the desired behavior over a wide range of viewing angles. Cheaper materials that are similarly amenable to this treatment include cubic zirconia (index≈2.15) and moissanite (non isotropic, hence doubly refractive, with an index ranging from about 2.65 to 2.69, depending on direction and polarization); both of these are therefore popular as diamond simulants.

Эванесцентная волна

Математически волны описываются в терминах изменяющихся во времени полей, где "поле" представляет собой функцию координат в пространстве. Распространяющаяся волна требует наличия поля "действия" и поля "потока", последнее из которых является вектором (при работе в двух или трех измерениях). Произведение действия и потока связано с мощностью (см. Эквивалентность систем). Например, для звуковых волн в невязкой жидкости можно принять поле действия равным давлению (скаляр), а поле потока – скоростью жидкости (вектор). Произведение этих двух величин – это интенсивность (мощность на единицу площади). Для электромагнитных волн поле действия будем считать электрическим полем, а поле потока – полем намагниченности 'H'. Оба эти значения являются векторами, и их векторное произведение снова представляет собой интенсивность (см. вектор Пойнтинга). Когда волна в (скажем) среде 1 отражается от границы раздела между средой 1 и средой 2, поле потока в среде 1 является векторной суммой полей потока, создаваемых падающей и отраженной волнами. Если отражение наклонное, падающее и отраженное поля не направлены в противоположные стороны и, следовательно, не могут взаимно уничтожаться на границе раздела; даже если отражение полное, нормальная или тангенциальная компонента результирующего поля (как функция координат и времени) должна быть отлична от нуля вблизи границы раздела. Более того, физические законы, управляющие полями, обычно подразумевают, что один из двух компонентов непрерывен на границе раздела (то есть не испытывает скачкообразного изменения при переходе через границу раздела); например, для электромагнитных волн одним из граничных условий является непрерывность тангенциальной компоненты 'H' при отсутствии поверхностного тока. Следовательно, даже при полном отражении должно происходить некоторое проникновение поля потока в среду 2; и это, в сочетании с законами, связывающими поля действия и потока, подразумевает, что также будет некоторое проникновение поля действия. Это же условие непрерывности подразумевает, что изменение ("волнистость") поля в среде 2 будет синхронизировано с изменением падающих и отраженных волн в среде 1. Но если отражение полное, то пространственное проникновение полей в среду 2 должно быть ограничено каким-то образом, иначе общая протяженность и, следовательно, общая энергия этих полей будет продолжать возрастать, отбирая мощность из среды 1. Полное отражение непрерывной волновой цепи допускает накопление некоторого количества энергии в среде 2, но не допускает непрерывной передачи мощности из среды 1 в среду 2. Таким образом, основываясь в основном на качественном рассуждении, мы можем заключить, что полное внутреннее отражение должно сопровождаться волнообразным полем в "внешней" среде, распространяющимся вдоль границы раздела в синхронности с падающими и отраженными волнами, но с некоторым ограниченным пространственным проникновением в "внешнюю" среду; такое поле можно назвать затухающей волной. На рис. 9 показана основная идея. Предполагается, что падающая волна плоская и синусоидальная. Отраженная волна, для простоты, не показана. Затухающая волна распространяется вправо в такт с падающими и отраженными волнами, но ее амплитуда уменьшается с увеличением расстояния от границы раздела. (Две особенности затухающей волны на рис. 9 будут объяснены позже: во-первых, гребни затухающей волны перпендикулярны границе раздела; во-вторых, затухающая волна немного опережает падающую волну.)

Mathematically, waves are described in terms of time varying fields, a "field" being a function of location in space. A propagating wave requires an "effort" field and a "flow" field, the latter being a vector (if we are working in two or three dimensions). The product of effort and flow is related to power (see System equivalence). For example, for sound waves in a non viscous fluid, we might take the effort field as the pressure (a scalar), and the flow field as the fluid velocity (a vector). The product of these two is intensity (power per unit area). For electromagnetic waves, we shall take the effort field as the electric field and the flow field as the magnetizing field 'H'. Both of these are vectors, and their vector product is again the intensity (see Poynting vector). When a wave in (say) medium 1 is reflected off the interface between medium 1 and medium 2, the flow field in medium 1 is the vector sum of the flow fields due to the incident and reflected waves. If the reflection is oblique, the incident and reflected fields are not in opposite directions and therefore cannot cancel out at the interface; even if the reflection is total, either the normal component or the tangential component of the combined field (as a function of location and time) must be non zero adjacent to the interface. Furthermore, the physical laws governing the fields will generally imply that one of the two components is continuous across the interface (that is, it does not suddenly change as we cross the interface); for example, for electromagnetic waves, one of the interface conditions is that the tangential component of 'H' is continuous if there is no surface current. Hence, even if the reflection is total, there must be some penetration of the flow field into medium 2; and this, in combination with the laws relating the effort and flow fields, implies that there will also be some penetration of the effort field. The same continuity condition implies that the variation ("waviness") of the field in medium 2 will be synchronized with that of the incident and reflected waves in medium 1. But, if the reflection is total, the spatial penetration of the fields into medium 2 must be limited somehow, or else the total extent and hence the total energy of those fields would continue to increase, draining power from medium 1. Total reflection of a continuing wavetrain permits some energy to be stored in medium 2, but does not permit a continuing transfer of power from medium 1 to medium 2. Thus, using mostly qualitative reasoning, we can conclude that total internal reflection must be accompanied by a wavelike field in the "external" medium, traveling along the interface in synchronism with the incident and reflected waves, but with some sort of limited spatial penetration into the "external" medium; such a field may be called an evanescent wave. Fig.9 shows the basic idea. The incident wave is assumed to be plane and sinusoidal. The reflected wave, for simplicity, is not shown. The evanescent wave travels to the right in lock step with the incident and reflected waves, but its amplitude falls off with increasing distance from the interface. (Two features of the evanescent wave in Fig.9 are to be explained later: first, that the evanescent wave crests are perpendicular to the interface; and second, that the evanescent wave is slightly ahead of the incident wave.)

Фрустрированный полный внутренний отражатель (FTIR)

Чтобы полное внутреннее отражение было полным, не должно быть отклонения evanescent волны. Предположим, например, что электромагнитные волны, падающие от стекла (с более высоким показателем преломления) в воздух (с более низким показателем преломления) под определенным углом падения, испытывают полное внутреннее отражение (ТИР). И предположим, что у нас есть третья среда (часто идентичная первой), показатель преломления которой достаточно высок, чтобы при замене второй среды третьей мы получили бы обычную волновой пакет для того же угла падения. Тогда, если третья среда поднесена на расстояние нескольких длин волн от поверхности первой среды, где evanescent волна имеет значительную амплитуду во второй среде, то evanescent волна эффективно преломляется в третью среду, что приводит к ненулевой передаче в третью среду и, следовательно, к меньшему, чем полное отражение обратно в первую среду. По мере уменьшения амплитуды evanescent волны при прохождении через воздушный зазор, передаваемые волны ослабевают, поэтому передача меньше, а отражение больше, чем при отсутствии зазора; но пока существует хоть какая-то передача, отражение остается неполным. Это явление называется подавленным полным внутренним отражением (где "подавленное" отменяет "полное"), сокращенно "подавленное ТИР" или "FTIR". Подавленное ТИР можно наблюдать, глядя на верхнюю часть стакана с водой, удерживаемого в руке (Рис. 10). Если стакан удерживается слабо, контакт может быть недостаточно плотным и обширным для проявления заметного эффекта. Но если стакан удерживается крепче, гребни отпечатков пальцев сильно взаимодействуют с evanescent волнами, позволяя видеть их сквозь поверхность, которая в противном случае полностью отражает границу стекло-воздух. Тот же эффект можно продемонстрировать с микроволнами, используя парафиновый воск в качестве "внутренней" среды (где существуют падающие и отраженные волны). В этом случае допустимая ширина зазора может составлять, например, 1 см или несколько сантиметров, что легко наблюдать и регулировать. Термин "подавленное ТИР" также применим к случаю, когда evanescent волна рассеивается объектом, находящимся достаточно близко к отражающей границе. Этот эффект, наряду с сильной зависимостью количества рассеянного света от расстояния до границы, используется в микроскопии полного внутреннего отражения. Механизм FTIR называется волноводным сопряжением evanescent волн и является хорошей аналогией для визуализации квантового туннелирования. Благодаря волновой природе материи электрон имеет ненулевую вероятность "туннелирования" через барьер, даже если классическая механика утверждает, что его энергии недостаточно. Аналогично, благодаря волновой природе света фотон имеет ненулевую вероятность пересечения зазора, даже если лучевая оптика указывает на слишком косой угол подхода. Другая причина, по которой внутреннее отражение может быть неполным даже за пределами критического угла, заключается в том, что внешняя среда может быть "поглощающей" (менее чем идеально прозрачной), в этом случае внешняя среда будет поглощать энергию от evanescent волны, и поддержание evanescent волны будет отнимать энергию у падающей волны. Результирующее неполное отражение называется ослабленным полным внутренним отражением (ATR). Этот эффект, и особенно частотная зависимость поглощения, может быть использован для изучения состава неизвестной внешней среды.

If the internal reflection is to be total, there must be no diversion of the evanescent wave. Suppose, for example, that electromagnetic waves incident from glass (with a higher refractive index) to air (with a lower refractive index) at a certain angle of incidence are subject to TIR. And suppose that we have a third medium (often identical to the first) whose refractive index is sufficiently high that, if the third medium were to replace the second, we would get a standard transmitted wavetrain for the same angle of incidence. Then, if the third medium is brought within a distance of a few wavelengths from the surface of the first medium, where the evanescent wave has significant amplitude in the second medium, then the evanescent wave is effectively refracted into the third medium, giving non zero transmission into the third medium, and therefore less than total reflection back into the first medium. As the amplitude of the evanescent wave decays across the air gap, the transmitted waves are attenuated, so that there is less transmission, and therefore more reflection, than there would be with no gap; but as long as there is some transmission, the reflection is less than total. This phenomenon is called frustrated total internal reflection (where "frustrated" negates "total"), abbreviated "frustrated TIR" or "FTIR". Frustrated TIR can be observed by looking into the top of a glass of water held in one's hand (Fig.10). If the glass is held loosely, contact may not be sufficiently close and widespread to produce a noticeable effect. But if it is held more tightly, the ridges of one's fingerprints interact strongly with the evanescent waves, allowing the ridges to be seen through the otherwise totally reflecting glass air surface. The same effect can be demonstrated with microwaves, using paraffin wax as the "internal" medium (where the incident and reflected waves exist). In this case the permitted gap width might be (e. g.) 1cm or several cm, which is easily observable and adjustable. The term frustrated TIR also applies to the case in which the evanescent wave is scattered by an object sufficiently close to the reflecting interface. This effect, together with the strong dependence of the amount of scattered light on the distance from the interface, is exploited in total internal reflection microscopy. The mechanism of FTIR is called evanescent wave coupling, and is a good analog to visualize quantum tunneling. Due to the wave nature of matter, an electron has a non zero probability of "tunneling" through a barrier, even if classical mechanics would say that its energy is insufficient. Similarly, due to the wave nature of light, a photon has a non zero probability of crossing a gap, even if ray optics would say that its approach is too oblique. Another reason why internal reflection may be less than total, even beyond the critical angle, is that the external medium may be "lossy" (less than perfectly transparent), in which case the external medium will absorb energy from the evanescent wave, so that the maintenance of the evanescent wave will draw power from the incident wave. The consequent less than total reflection is called attenuated total reflectance (ATR). This effect, and especially the frequency dependence of the absorption, can be used to study the composition of an unknown external medium.

Открытие

Удивительно всеобъемлющие и в значительной степени правильные объяснения радуги, данные Теодориком Фрайбергским (написанные между 1304 и 1310 годами) и Камалем ад-Дином аль-Фариси (завершенные к 1309 году), хотя иногда упоминаются в связи с полным внутренним отражением (TIR), имеют сомнительную значимость, поскольку внутреннее отражение солнечного света в сферической капле дождя не является полным. Однако, по словам Карла Бенджамина Бойера, трактат Теодорика о радуге также классифицировал оптические явления по пяти причинам, последней из которых было «полное отражение на границе двух прозрачных сред». Работа Теодорика была забыта до тех пор, пока её не заново открыл Джованни Баттиста Вентури в 1814 году. После того, как Теодорик был забыт, открытие TIR обычно приписывалось Иоганну Кеплеру, который опубликовал свои результаты в своей «Диоптрике» в 1611 году. Хотя Кеплер не смог установить истинный закон преломления, он экспериментально показал, что для падения света из воздуха в стекло падающий и преломленный лучи вращаются в одном направлении относительно точки падения, и что при изменении угла падения в пределах ±90°, угол преломления (как мы теперь его называем) изменялся в пределах ±42°. Он также знал, что падающий и преломленный лучи взаимозаменяемы. Однако эти наблюдения не охватывали случай луча, падающего из стекла в воздух под углом, превышающим 42°, и Кеплер быстро заключил, что такой луч может только отражаться. Рене Декарт заново открыл закон преломления и опубликовал его в своей «Диоптрике» 1637 года. В той же работе он упомянул о направлении вращения падающего и преломленного лучей и об условиях возникновения TIR. Однако он не рассмотрел предельный случай и, следовательно, не смог вывести выражение для критического угла, хотя мог бы легко это сделать.

Гюйгенс и Ньютон: соперничающие объяснения

Кристиан Гюйгенс в своем трактате о свете (1690 г.) уделял большое внимание порогу, при котором падающий луч "не способен проникнуть в другую прозрачную среду". Хотя он не дал ни названия, ни алгебраического выражения для критического угла, он привел численные примеры для случаев падения света из стекла в воздух и из воды в воздух, отметил значительное изменение угла преломления при небольшом изменении угла падения вблизи критического угла и указал на это как на причину быстрого увеличения яркости отраженного луча, когда преломленный луч приближается к касательной к границе раздела сред. Эта идея Гюйгенса подтверждается современной теорией: в уравнениях, приведенных выше, ничего не указывает на то, что коэффициенты отражения резко возрастают по мере приближения θt к 90°, за исключением того, что, согласно закону Снеллиуса, сам θt является все более крутой функцией θ.

Гюйгенс предложил объяснение полного внутреннего отражения (ПВО) в той же концептуальной рамке, что и объяснения законов прямолинейного распространения света, отражения, обычного преломления и даже необычного преломления "исландского кристалла" (кальцита). Эта рамка основывалась на двух предпосылках: во-первых, каждая точка, пересекаемая распространяющимся волновым фронтом, становится источником вторичных волновых фронтов ("принцип Гюйгенса"); во-вторых, любое последующее положение волнового фронта, при заданном начальном волновом фронте, является огибающей (общей касательной поверхностью) всех вторичных волновых фронтов, излучаемых из начального положения. Все случаи отражения или преломления на поверхности объясняются просто путем рассмотрения вторичных волн, испускаемых этой поверхностью. В случае преломления из среды с более медленным распространением волн в среду с более быстрым распространением, существует определенная наклонность падения, при превышении которой вторичные волновые фронты не могут образовать общую касательную во второй среде; это и есть то, что мы сейчас называем критическим углом. По мере приближения падающего волнового фронта к этой критической наклонности преломленный волновой фронт концентрируется у преломляющей поверхности, усиливая вторичные волны, которые создают отражение обратно в первую среду. Система Гюйгенса даже допускала частичное отражение на границе между различными средами, хотя и нечетко, по аналогии с законами столкновений между частицами разных размеров. Однако, пока волновая теория продолжала исходить из представления о продольных волнах, она не могла объяснить поляризацию, а следовательно, и зависимость необычного преломления, коэффициента частичного отражения или фазового сдвига при ПВО. Исаак Ньютон отверг волновое объяснение прямолинейного распространения света, полагая, что если бы свет состоял из волн, он бы "изгибался и распространялся во все стороны" в тени. Его корпускулярная теория света объясняла прямолинейное распространение более просто и объясняла обычные законы преломления и отражения, включая ПВО, на основе гипотезы о том, что частицы света подвержены силе, действующей перпендикулярно границе раздела сред. В этой модели, при переходе из более плотной среды в менее плотную, сила представляла собой притяжение обратно к более плотной среде, а критический угол был углом падения, при котором нормальная скорость приближающейся частицы была достаточной для достижения дальней стороны поля силы; при более наклонном падении частица отклонялась обратно. Ньютон фактически дал формулу для критического угла, хотя и выраженную словами: "как синусы измеряют преломление, так и синус угла падения, при котором начинается полное отражение, относится к радиусу окружности". Ньютон превзошел Гюйгенса в двух аспектах. Во-первых, он, не удивительно, указал на связь между ПВО и дисперсией: когда луч белого света приближается к границе раздела стекло-воздух под увеличивающимся углом падения, наиболее сильно преломляемые лучи (фиолетовые) первыми подвергаются "полному отражению", за которыми следуют менее преломляемые лучи. Во-вторых, он заметил, что полное отражение может быть нарушено (как мы говорим сейчас) путем соединения двух призм, одна плоская, а другая слегка выпуклая; и объяснил это тем, что частицы будут притягиваться не только к первой призме, но и ко второй. Однако система Ньютона была менее последовательной в двух других аспектах. Во-первых, его объяснение частичного отражения зависело не только от предполагаемых сил притяжения между частицами и средами, но и от более туманной гипотезы о "состояниях легкого отражения" и "состояниях легкого пропускания". Во-вторых, хотя его частицы могли теоретически иметь "стороны" или "полюса", ориентация которых могла определять, подвергаются ли частицы обычному или необычному преломлению в "исландском кристалле", его геометрическое описание необычного преломления было теоретически необоснованным и эмпирически неточным.

Huygens offered an explanation of TIR within the same framework as his explanations of the laws of rectilinear propagation, reflection, ordinary refraction, and even the extraordinary refraction of "Iceland crystal" (calcite). That framework rested on two premises: first, every point crossed by a propagating wavefront becomes a source of secondary wavefronts ("Huygens' principle"); and second, given an initial wavefront, any subsequent position of the wavefront is the envelope (common tangent surface) of all the secondary wavefronts emitted from the initial position. All cases of reflection or refraction by a surface are then explained simply by considering the secondary waves emitted from that surface. In the case of refraction from a medium of slower propagation to a medium of faster propagation, there is a certain obliquity of incidence beyond which it is impossible for the secondary wavefronts to form a common tangent in the second medium; this is what we now call the critical angle. As the incident wavefront approaches this critical obliquity, the refracted wavefront becomes concentrated against the refracting surface, augmenting the secondary waves that produce the reflection back into the first medium. Huygens' system even accommodated partial reflection at the interface between different media, albeit vaguely, by analogy with the laws of collisions between particles of different sizes. However, as long as the wave theory continued to assume longitudinal waves, it had no chance of accommodating polarization, hence no chance of explaining the polarization dependence of extraordinary refraction, or of the partial reflection coefficient, or of the phase shift in TIR. Isaac Newton rejected the wave explanation of rectilinear propagation, believing that if light consisted of waves, it would "bend and spread every way" into the shadows. His corpuscular theory of light explained rectilinear propagation more simply, and it accounted for the ordinary laws of refraction and reflection, including TIR, on the hypothesis that the corpuscles of light were subject to a force acting perpendicular to the interface. In this model, for dense to rare incidence, the force was an attraction back towards the denser medium, and the critical angle was the angle of incidence at which the normal velocity of the approaching corpuscle was just enough to reach the far side of the force field; at more oblique incidence, the corpuscle would be turned back. Newton gave what amounts to a formula for the critical angle, albeit in words: "as the Sines are which measure the Refraction, so is the Sine of Incidence at which the total Reflexion begins, to the Radius of the Circle". Newton went beyond Huygens in two ways. First, not surprisingly, Newton pointed out the relationship between TIR and dispersion: when a beam of white light approaches a glass to air interface at increasing obliquity, the most strongly refracted rays (violet) are the first to be "taken out" by "total Reflexion", followed by the less refracted rays. Second, he observed that total reflection could be frustrated (as we now say) by laying together two prisms, one plane and the other slightly convex; and he explained this simply by noting that the corpuscles would be attracted not only to the first prism, but also to the second. In two other ways, however, Newton's system was less coherent. First, his explanation of partial reflection depended not only on the supposed forces of attraction between corpuscles and media, but also on the more nebulous hypothesis of "Fits of easy Reflexion" and "Fits of easy Transmission". Second, although his corpuscles could conceivably have "sides" or "poles", whose orientations could conceivably determine whether the corpuscles suffered ordinary or extraordinary refraction in "Island Crystal", his geometric description of the extraordinary refraction was theoretically unsupported and empirically inaccurate.

Лаплас, Малус и ослабленная общая отражательная способность (ATR)

Уильям Хайд Волластон в первой из двух статей, представленных в Королевском обществе Лондона в 1802 году, сообщил о своем изобретении рефрактометра, основанного на критическом угле падения света из внутренней среды с известной "рефрактивной мощностью" (показателем преломления) во внешнюю среду, показатель преломления которой необходимо было измерить. С помощью этого прибора Волластон измерил "рефракционные силы" множества материалов, некоторые из которых были настолько непрозрачны, что не позволяли напрямую измерить угол преломления. Переводы его работ были опубликованы во Франции в 1803 году и, очевидно, привлекли внимание Пьера Симона Лапласа. Согласно разработанной Лапласом теории преломления Ньютона, корпускула, падающая на плоскую границу между двумя однородными изотропными средами, подвергалась силовому полю, симметричному относительно этой границы. Если обе среды были прозрачными, происходило бы полное отражение, если корпускула отклонялась назад до выхода из поля во второй среде. Но если вторая среда была непрозрачной, отражение не было бы полным, если бы корпускула не отклонилась назад до выхода из первой среды; это требовало большего критического угла, чем предсказываемый законом Снелла, и, следовательно, ставило под сомнение применимость метода Волластона к непрозрачным средам. Лаплас объединил оба случая в единую формулу для относительного показателя преломления, выраженного через критический угол (минимальный угол падения для ВПП). Формула содержала параметр, принимавший одно значение для прозрачной внешней среды и другое – для непрозрачной. Теория Лапласа также предсказывала связь между показателем преломления и плотностью для данного вещества. В 1807 году теория Лапласа была экспериментально проверена его учеником Этьеном Луи Малюсом. Используя формулу Лапласа для показателя преломления как данную, Малюс измерил показатель преломления пчелиного воска в жидком (прозрачном) и твердом (непрозрачном) состояниях при различных температурах (и, следовательно, различных плотностях), подтвердив тем самым связь между показателем преломления и плотностью, установленную Лапласом. Однако теория Лапласа подразумевала, что если угол падения превышает его модифицированный критический угол, отражение будет полным, даже если внешняя среда поглощает свет. Очевидно, это неверно: в приведенных выше уравнениях нет порогового значения угла θ, при котором κ стремится к бесконечности; следовательно, глубина проникновения затухающей волны (1/κ) всегда отлична от нуля, и внешняя среда, если она обладает хоть какой-то степенью потерь, будет ослаблять отражение. Что касается того, почему Малюс, по-видимому, наблюдал такой угол для непрозрачного воска, можно предположить, что существовал определенный угол, при котором ослабление отражения было настолько малым, что измерение методом АТП визуально не отличалось от ВПП.

William Hyde Wollaston, in the first of a pair of papers read to the Royal Society of London in 1802, reported his invention of a refractometer based on the critical angle of incidence from an internal medium of known "refractive power" (refractive index) to an external medium whose index was to be measured. With this device, Wollaston measured the "refractive powers" of numerous materials, some of which were too opaque to permit direct measurement of an angle of refraction. Translations of his papers were published in France in 1803, and apparently came to the attention of Pierre Simon Laplace. According to Laplace's elaboration of Newton's theory of refraction, a corpuscle incident on a plane interface between two homogeneous isotropic media was subject to a force field that was symmetrical about the interface. If both media were transparent, total reflection would occur if the corpuscle were turned back before it exited the field in the second medium. But if the second medium were opaque, reflection would not be total unless the corpuscle were turned back before it left the first medium; this required a larger critical angle than the one given by Snell's law, and consequently impugned the validity of Wollaston's method for opaque media. Laplace combined the two cases into a single formula for the relative refractive index in terms of the critical angle (minimum angle of incidence for TIR). The formula contained a parameter which took one value for a transparent external medium and another value for an opaque external medium. Laplace's theory further predicted a relationship between refractive index and density for a given substance. In 1807, Laplace's theory was tested experimentally by his protégé, Étienne Louis Malus. Taking Laplace's formula for the refractive index as given, and using it to measure the refractive index of bees' wax in the liquid (transparent) state and the solid (opaque) state at various temperatures (hence various densities), Malus verified Laplace's relationship between refractive index and density. But Laplace's theory implied that if the angle of incidence exceeded his modified critical angle, the reflection would be total even if the external medium was absorbent. Clearly this was wrong: in Eqs. above, there is no threshold value of the angle θ beyond which κ becomes infinite; so the penetration depth of the evanescent wave (1/κ) is always non zero, and the external medium, if it is at all lossy, will attenuate the reflection. As to why Malus apparently observed such an angle for opaque wax, we must infer that there was a certain angle beyond which the attenuation of the reflection was so small that ATR was visually indistinguishable from TIR.