Моментные задачи: от теории вероятностей к комплексному анализу
Moment problem
Моментная задача в математике: обращение отображения меры в последовательность моментов. Классические случаи: Гамбургера, Стильтьеса, Гаусса. Уникальность решений.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Попытка сопоставить моменты мере, которая их порождает.
Trying to map moments to a measure that generates them
В математике проблема моментов возникает как результат попытки инвертировать отображение, которое переводит меру в последовательность моментов.
In mathematics, a moment problem arises as the result of trying to invert the mapping that takes a measure to the sequence of moments
В более общем случае можно рассмотреть
More generally, one may consider
для произвольной последовательности функций .
for an arbitrary sequence of functions .
Введение
В классической постановке, μ является мерой на вещественной прямой, а {p_n} – последовательностью моментов. В таком виде вопрос возникает в теории вероятностей: существует ли мера вероятности с заданным средним значением, дисперсией и так далее, и если да, то является ли она единственной? Существует три известных классических моментальных задачи: задача моментов Гамбургера, в которой носитель μ может быть всей вещественной прямой; задача моментов Стильтьеса, для μ, определённой на ; и задача моментов Хаусдорфа для ограниченного интервала, который без ограничения общности можно считать равным [a, b]. Задача моментов также распространяется на комплексный анализ в виде тригонометрической моментальной задачи, в которой матрицы Ганкеля заменяются матрицами Топлица, а носителем μ является комплексная единичная окружность вместо вещественной прямой.
In the classical setting, is a measure on the real line, and is the sequence In this form the question appears in probability theory, asking whether there is a probability measure having specified mean, variance and so on, and whether it is unique. There are three named classical moment problems: the Hamburger moment problem in which the support of is allowed to be the whole real line; the Stieltjes moment problem, for ; and the Hausdorff moment problem for a bounded interval, which without loss of generality may be taken as
The moment problem also extends to complex analysis as the trigonometric moment problem in which the Hankel matrices are replaced by Toeplitz matrices and the support of μ is the complex unit circle instead of the real line.
Уникальность (или определённость)
Уникальность в проблеме моментов Хаусдорфа вытекает из теоремы Вейерштрасса о приближении, которая утверждает, что полиномы всюду плотны в пространстве непрерывных функций на [0, 1] при равномерной норме. Для задачи на бесконечном интервале вопрос об уникальности является более тонким. Существуют распределения, такие как логнормальные распределения, которые имеют конечные моменты при всех положительных целых значениях, но для которых существуют другие распределения с теми же моментами.
The uniqueness of in the Hausdorff moment problem follows from the Weierstrass approximation theorem, which states that polynomials are dense under the uniform norm in the space of continuous functions on For the problem on an infinite interval, uniqueness is a more delicate question. There are distributions, such as log normal distributions, which have finite moments for all the positive integers but where other distributions have the same moments.
Вариации
Важной вариацией является усеченная проблема моментов, которая изучает свойства мер с заданными первыми k моментами (для конечного k). Результаты по усеченной проблеме моментов имеют многочисленные применения в экстремальных задачах, оптимизации и предельных теоремах теории вероятностей.
An important variation is the truncated moment problem, which studies the properties of measures with fixed first k moments (for a finite k). Results on the truncated moment problem have numerous applications to extremal problems, optimisation and limit theorems in probability theory.