Введение
График, отображающий многомерные данные.
Параллельные координаты – распространенный метод визуализации высокоразмерных наборов данных для анализа многомерных данных, содержащих несколько переменных или атрибутов. Для построения или визуализации набора точек в n-мерном пространстве на фоне проводятся n параллельных линий, представляющих координатные оси, обычно ориентированные вертикально с равными интервалами. Точки в n-мерном пространстве представляются в виде отдельных полилиний с n вершинами, расположенными на параллельных осях, соответствующих каждой координате n-мерной точки, а вершины соединяются n-1 отрезками полилинии. Эта визуализация данных похожа на визуализацию временных рядов, за исключением того, что параллельные координаты применяются к данным, не связанным с хронологическим временем. Следовательно, могут представлять интерес различные расположения осей, включая отражение осей по горизонтали или инвертирование диапазона значений атрибутов.
Более высокие размеры
На плоскости с декартовой системой координат XY добавление большего числа измерений в параллельных координатах (часто сокращенно || coords, ПКП или ПК) подразумевает добавление большего числа осей. Ценность параллельных координат заключается в том, что определенные геометрические свойства в высоких размерностях преобразуются в легко различимые двумерные шаблоны. Например, множество точек на прямой в n-мерном пространстве преобразуется в множество полилиний в параллельных координатах, пересекающихся в n–1 точках. При n = 2 это приводит к двойственности точки и прямой, указывающей на то, почему математические основы параллельных координат разрабатываются в проективном, а не в евклидовом пространстве. Пара прямых пересекается в единственной точке, которая имеет две координаты и, следовательно, может соответствовать единственной прямой, которая также задается двумя параметрами (или двумя точками). В отличие от этого, для определения кривой требуется более двух точек, а также пара кривых может не иметь единственной точки пересечения. Таким образом, используя кривые в параллельных координатах вместо прямых, теряется двойственность точки и прямой вместе со всеми остальными свойствами проективной геометрии и известными красивыми многомерными шаблонами, соответствующими (гипер)плоскостям, кривым, нескольким гладким (гипер)поверхностям, близости, выпуклости и, недавно, не ориентируемости. Цель состоит в том, чтобы отобразить n-мерные соотношения в двумерные шаблоны. Следовательно, параллельные координаты – это не отображение точка в точку, а отображение n-мерного подмножества в двумерное подмножество, при котором не происходит потери информации. Примечание: даже точка в n-мерном пространстве не отображается в точку на плоскости, а в полигональную линию – подмножество двумерного пространства.
Статистические соображения
При использовании для визуализации статистических данных следует учитывать три важных аспекта: порядок, вращение и масштабирование осей. Порядок осей критически важен для выявления закономерностей, и в типичном анализе данных потребуется опробовать множество различных вариантов упорядочения. Некоторые авторы разработали эвристические методы упорядочения, которые могут создавать информативные представления. Вращение осей соответствует сдвигу в параллельных координатах, и если линии пересекаются за пределами параллельных осей, их можно переместить между ними посредством вращения. Простейший пример – вращение оси на 180 градусов. Следовательно, переменные должны быть приведены к общему масштабу, и существует множество методов масштабирования, которые следует учитывать в процессе подготовки данных для получения более информативных визуализаций. Плавный график параллельных координат достигается с помощью сплайнов. В таком графике каждое наблюдение отображается в параметрическую линию (или кривую), которая является гладкой, непрерывной вдоль осей и ортогональной каждой параллельной оси. Такая конструкция подчеркивает уровень квантования для каждого атрибута данных. Если большинство линий между двумя параллельными осями в значительной степени параллельны друг другу, это указывает на положительную взаимосвязь между этими двумя измерениями. Если линии пересекаются, образуя своего рода наложение в форме X, это свидетельствует об отрицательной взаимосвязи. Если линии пересекаются случайным образом или параллельны, это говорит об отсутствии какой-либо выраженной взаимосвязи.
Ограничения
В параллельных координатах каждая ось может иметь не более двух соседних осей (одна слева и одна справа). Для n-мерного набора данных одновременно можно отобразить максимум n-1 взаимосвязей без изменения подхода. В визуализации временных рядов существует естественный предшествующий и последующий элемент, поэтому в этом особом случае существует предпочтительная компоновка. Однако, когда оси не имеют уникального порядка, поиск оптимального расположения осей требует проведения экспериментов и разработки признаков. Для изучения большего числа взаимосвязей оси могут быть переупорядочены или реструктурированы. Один из подходов располагает оси в трехмерном пространстве (сохраняя параллельность и образуя решетчатый граф), где ось может иметь более двух соседей в окружности вокруг центрального атрибута, а задача оптимизации расположения может быть улучшена с помощью минимального остовного дерева. Прототип этой визуализации доступен в качестве расширения для программного обеспечения для интеллектуального анализа данных ELKI. Однако такая визуализация сложнее для интерпретации и взаимодействия, чем линейный порядок.
Программное обеспечение
Хотя существует большое количество работ, посвященных параллельным координатам, лишь немногие заметные программы общедоступны для преобразования баз данных в графическое представление параллельных координат. К заметным программам относятся ELKI, GGobi, Mondrian, Orange и ROOT. Среди библиотек можно выделить Protovis.js, D3.js предоставляет базовые примеры. Также опубликована D3.Parcoords.js (библиотека на основе D3), специально разработанная для создания графиков параллельных координат. Библиотека Python для работы с данными и их анализа Pandas реализует построение графиков параллельных координат с использованием библиотеки визуализации matplotlib.
Другие визуализации для многовариантных данных
Радарная диаграмма – визуализация с радиально расположенными координатными осями. График Эндрюса – преобразование Фурье графа параллельных координат.