Равенство в математике: определение и свойства

Введение

Отношение, утверждающее, что две величины равны.

В математике равенство — это отношение между двумя величинами или, в более общем случае, двумя математическими выражениями, утверждающее, что величины имеют одинаковое значение или что выражения представляют один и тот же математический объект. Равенство между A и B записывается как A = B и произносится как "A равно B". Символ "=" называется "знаком равенства". Два объекта, которые не равны, называются различными. Например, x = y означает, что x и y обозначают один и тот же объект. Тождество x = x означает, что если x — любое число, то два выражения имеют одинаковое значение. Это также можно интерпретировать как утверждение, что обе стороны знака равенства представляют одну и ту же функцию. "если и только если" (if and only if) – это утверждение, использующее обозначение конструктора множеств, которое означает, что если элементы, удовлетворяющие свойству P, совпадают с элементами, удовлетворяющими свойству Q, то два использования обозначения конструктора множеств определяют одно и то же множество. Это свойство часто выражается как "два множества, имеющие одинаковые элементы, равны". Это одна из обычных аксиом теории множеств, называемая аксиомой экстенсиональности.

Этимология

Этимология слова происходит от латинского aequālis ("равный", "подобный", "сравнимый", "сходный") от aequus ("равный", "ровный", "справедливый", "честный").

Основные свойства

Эти три последних свойства делают равенство отношением эквивалентности. Изначально они были включены в аксиомы Пеано для натуральных чисел. Хотя свойства симметричности и транзитивности часто считаются фундаментальными, их можно вывести из свойств подстановки и рефлексивности.

Равенство как предикат

Когда A и B не полностью заданы или зависят от некоторых переменных, равенство становится утверждением, которое может быть истинным для одних значений и ложным для других. Равенство – это бинарное отношение (то есть предикат с двумя аргументами), которое может возвращать значение истинности (ложно или истинно) на основе своих аргументов. В программировании вычисление этого значения по двум выражениям известно как сравнение.

Личности

Когда A и B можно рассматривать как функции одних и тех же переменных, то A = B означает, что A и B задают одну и ту же функцию. Такое равенство функций иногда называют тождеством. Пример: Иногда, но не всегда, тождество записывается с помощью тройной черты:

Уравнения

Уравнение – это задача нахождения значений некоторых переменных, называемых неизвестными, для которых заданное равенство верно. Термин "уравнение" также может относиться к отношению равенства, которое выполняется лишь для определенных значений переменных, представляющих интерес. Например, x² + y² = 1 является уравнением единичной окружности. Не существует стандартной нотации, позволяющей отличать уравнение от тождества или иного использования отношения равенства: соответствующую интерпретацию необходимо определять исходя из смысла выражений и контекста. Тождество считается верным для всех значений переменных в заданной области определения. "Уравнение" иногда может подразумевать тождество, но чаще всего оно определяет подмножество области значений переменных, в котором уравнение выполняется.

Приблизительное равенство

Есть некоторые логические системы, в которых отсутствует понятие равенства. Это отражает неразрешимость вопроса о равенстве двух действительных чисел, заданных формулами, включающими целые числа, основные арифметические операции, логарифм и экспоненциальную функцию. Иными словами, не существует алгоритма, позволяющего определить такое равенство. Бинарное отношение "приблизительно равно" (обозначается символом ) между действительными числами или другими объектами, даже если оно определено более точно, не является транзитивным (поскольку множество малых различий может в сумме дать значительную величину). Однако равенство почти всюду является транзитивным. Равенство, вызывающее сомнения, при проверке может быть обозначено символом ≟.

Равенство в теории множеств

Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя различными способами, в зависимости от того, построены ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.