Введение

Ряды, представляющие модульные формы, — голоморфные ряды Эйзенштейна в размерности 3. Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Готтфрида Эйзенштейна, являются особыми модульными формами с бесконечными разложениями в ряд, которые можно записать непосредственно. Изначально определенные для модулярной группы, ряды Эйзенштейна могут быть обобщены в теории автоморфных форм.

Серия Эйзенштейна для модульной группы

Пусть τ – комплексное число со строго положительной мнимой частью. Определите голоморфный ряд Эйзенштейна G₂ₖ(τ) веса 2k, где k ≥ 2 – целое число, следующим рядом:

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции от τ в верхней полуплоскости, и его разложение Фурье, приведенное ниже, показывает, что он продолжается на голоморфную функцию в τ. Замечательным фактом является то, что ряд Эйзенштейна является модулярной формой. Действительно, ключевым свойством является его ковариантность относительно SL(2,ℤ). Явно, если a, b, c, d ∈ ℤ и то

Следует отметить, что k ≥ 2 необходимо для абсолютной сходимости ряда, в то время как k должно быть четным, иначе сумма обращается в ноль, поскольку члены (m, n) и (-m, -n) взаимно уничтожаются. Для k = 1 ряд сходится, но не является модулярной формой.

Обобщения

Автоморфные формы обобщают понятие модульных форм для общих групп Ли, а ряды Эйзенштейна — аналогичным образом. Определив OK как кольцо целых чисел полностью вещественного алгебраического поля чисел K, можно определить группу Гильберта — Блюменталя как PSL(2, OK). Затем каждому куспу группы Гильберта — Блюменталя можно сопоставить ряд Эйзенштейна.