Series representing modular forms
holomorphic Eisenstein series in dimension 3
Эйзенштейн тізбектері – неміс математигі Готтхольд Эйзенштейннің есімімен аталатын, тікелей жазуға болатын шексіз тізбек кеңейтулеріне ие модульдік формалардың ерекше түрі. Бұл тізбектер бастапқыда модульдік топ үшін анықталған, бірақ автоморфтық формалар теориясында жалпылауға болады.
Eisenstein series, named after German mathematician Gotthold Eisenstein, are particular modular forms with infinite series expansions that may be written down directly. Originally defined for the modular group, Eisenstein series can be generalized in the theory of automorphic forms.
Модульдік топ үшін Айзенштейн сериясы
τ – нақты оң қиял бөлігі бар кешенді сан болсын. 2k салмақты G2k(τ) голоморфты Айзенштейн қатарын, мұндағы k ≥ 2 – бүтін сан, келесі қатар арқылы анықтаңыз:
Let τ be a complex number with strictly positive imaginary part. Define the holomorphic Eisenstein series G2k(τ) of weight 2k, where k ≥ 2 is an integer, by the following series:
Бұл қатар жоғарғы жарты жазықтықтағы τ-ның голоморфтық функциясына толық жинақталады және оның төмендегі Фурье кеңеюі оның голоморфтық функцияға дейін кеңейтілетінін көрсетеді. Айзенштейн қатарының модульдік форма екендігі таңғаларлық факт. Шындығында, негізгі қасиеті – оның SL(2, ℝ) коварианттығы. Егер a, b, c, d ∈ ℝ болса, онда:
This series absolutely converges to a holomorphic function of τ in the upper half plane and its Fourier expansion given below shows that it extends to a holomorphic function at It is a remarkable fact that the Eisenstein series is a modular form. Indeed, the key property is its SL(2, '') covariance. Explicitly if a, b, c, d ∈ '' and then
Ескеріңіз, қатар толық жинақталуы үшін k ≥ 2 қажет, ал k жұп сан болуы керек, әйтпесе қосынды нөлге тең болады, себебі (m, n) және (-m, n) мүшелері бір-бірін қысқартады. k = 1 болғанда қатар жинақталады, бірақ ол модульдік форма емес.
Note that k ≥ 2 is necessary such that the series converges absolutely, whereas k needs to be even otherwise the sum vanishes because the ( m, n) and (m, n) terms cancel out. For the series converges but it is not a modular form.
Жалпылау
Автоморфты нысандар жалпы Lie топтары үшін модульдік нысандар ұғымын кеңейтеді; ал Эйзенштейн қатарлары да осыған ұқсас кеңейтіледі. OK-ны толық нақты алгебралық сандар денесі K-нің бүтін сандар сақинасы деп белгілесек, Хилберт-Блюментал модульдік тобын PSL(2,OK) деп анықтаймыз. Содан кейін Хилберт-Блюментал модульдік тобының әрбір төбесіне Эйзенштейн қатарын сәйкес қоюға болады.
Automorphic forms generalize the idea of modular forms for general Lie groups; and Eisenstein series generalize in a similar fashion. Defining OK to be the ring of integers of a totally real algebraic number field K, one then defines the Hilbert–Blumenthal modular group as PSL(2,OK). One can then associate an Eisenstein series to every cusp of the Hilbert–Blumenthal modular group.