Введение

Модель мезонов в пределе безмассовых кварков

В ядерной физике хиральная модель, предложенная Фезей Гюрсеем в 1960 году, является феноменологической моделью, описывающей эффективные взаимодействия мезонов в хиральном пределе (где массы кварков стремятся к нулю), но необязательно упоминая кварки вообще. Это нелинейная сигма-модель с главным однородным пространством группы Ли в качестве целевого многообразия. Когда модель была первоначально представлена, эта группа Ли была SU(N), где N – число ароматов кварков. Риманова метрика целевого многообразия задается положительной константой, умноженной на форму Киллинга, действующую на форму Маурера — Картана SU(N). Внутренняя глобальная симметрия этой модели – это , левая и правая копии соответственно; где левая копия действует как левое преобразование на целевом пространстве, а правая копия – как правое преобразование. Феноменологически, левая копия представляет собой вращения вкуса среди левых кварков, в то время как правая копия описывает вращения среди правых кварков, при этом L и R полностью независимы друг от друга. Осевые компоненты этих симметрий спонтанно нарушаются, так что соответствующие скалярные поля являются необходимыми бозонами Намбу — Голдстоуна. Модель позднее была изучена в двухмерном случае как интегрируемая система, в частности, интегрируемая теория поля. Её интегрируемость была показана Фаддеевым и Решехиным в 1982 году с помощью метода квантового обратного рассеяния. Двумерная главная хиральная модель демонстрирует признаки интегрируемости, такие как формулировка в терминах пары Лакса/нулевой кривизны, бесконечное число симметрий и лежащая в основе симметрия квантовой группы (в данном случае, симметрия Янгиана). Эта модель допускает топологические солитоны, называемые скирмионами. Отклонения от точной хиральной симметрии рассматриваются в теории хиральных возмущений.

Математическая формулировка

На многообразии (рассматриваемом как пространство-время) M и при выборе компактной группы Ли G, содержание поля задается функцией. Эта функция определяет связанное поле – векторное поле (точнее, ковекторное поле) с значениями в G, которое является формой Маурера-Картана. Основная хиральная модель определяется плотностью лагранжиана:

где g – безразмерная константа связи. В терминах дифференциальной геометрии, поле является сечением главного расслоения с волокнами, изоморфными гладкому однородному пространству для G над M (поэтому это и называется основной хиральной моделью).

Интегрируемая хиральная модель

Введённая Ричардом С. Уордом, интегральная хиральная модель, или модель Уорда, описывается с помощью матричнозначного поля и задаётся частным дифференциальным уравнением. Она имеет лагранжеву формулировку с ожидаемым кинетическим членом и членом, напоминающим член Весса — Зумино — Виттена. Также существует формулировка, формально идентичная уравнениям Богомольного, но с метрикой Лоренца. Связь между этими формулировками можно найти в. Известно много точных решений.

Двумерная основная хиральная модель

Здесь в качестве базового многообразия рассматривается поверхность Римана, в частности цилиндр или плоскость, которым обычно задаются вещественные координаты, при этом на цилиндре одна из координат периодическая. Для применения в теории струн этот цилиндр представляет собой мировую поверхность, описываемую замкнутой струной.

Формулировка лакса

Рассмотрим мировой лист в координатах светового конуса. Компоненты соответствующей матрицы Лакса следующие.

Требование, чтобы условие нулевой кривизны выполнялось для всех , эквивалентно сохранению тока и плоскостности тока, то есть уравнениям движения основной хиральной модели (PCM).