Введение
Утверждение о том, что игроки знают, и также знают, что другие игроки знают (ad infinitum). Общее знание – это особый вид знания для группы агентов. Существует общее знание о p в группе агентов G, когда все агенты в G знают p, они все знают, что они знают p, они все знают, что все знают, что они знают p, и так далее до бесконечности. Это можно обозначить как [символ]. Концепция была впервые представлена в философской литературе Дэвидом Келлоггом Льюисом в его работе «Конвенция» (1969). Социолог Моррис Фриделл определил общее знание в статье 1969 года. Впервые математическую формулировку в рамках теории множеств дал Роберт Ауманн (1976). Компьютерные ученые проявили интерес к теме эпистемической логики в целом – и к общему знанию в частности – начиная с 1980-х годов. Существует множество головоломок, основанных на этой концепции, которые были широко исследованы математиками, такими как Джон Конвей. Философ Стивен Шиффер в своей книге «Смысл» 1972 года независимо разработал понятие, которое он назвал «взаимным знанием», функционирующее весьма похоже на «общее знание» Льюиса и Фриделя 1969 года. Если достоверное объявление сделано публично, оно становится общеизвестным; однако, если оно передается каждому агенту в частном порядке, оно становится взаимным знанием, но не общим знанием. Даже если факт, что «каждый агент в группе знает p», передается каждому агенту в частном порядке, это все равно не является общим знанием: но, если какой-либо агент публично объявляет о своем знании p, то становится общеизвестным, что он знает p (а именно [символ]). Если каждый агент публично объявляет о своих знаниях о p, то p становится общеизвестным.
Common knowledge is a special kind of knowledge for a group of agents. There is common knowledge of p in a group of agents G when all the agents in G know p, they all know that they know p, they all know that they all know that they know p, and so on ad infinitum. It can be denoted as
The concept was first introduced in the philosophical literature by David Kellogg Lewis in his study Convention (1969). The sociologist Morris Friedell defined common knowledge in a 1969 paper. It was first given a mathematical formulation in a set theoretical framework by Robert Aumann (1976). Computer scientists grew an interest in the subject of epistemic logic in general – and of common knowledge in particular – starting in the 1980s. There are numerous puzzles based upon the concept which have been extensively investigated by mathematicians such as John Conway. The philosopher Stephen Schiffer, in his 1972 book Meaning, independently developed a notion he called "mutual knowledge" which functions quite similarly to Lewis's and Friedel's 1969 "common knowledge". If a trustworthy announcement is made in public, then it becomes common knowledge; However, if it is transmitted to each agent in private, it becomes mutual knowledge but not common knowledge. Even if the fact that "every agent in the group knows p" is transmitted to each agent in private, it is still not common knowledge: But, if any agent publicly announces their knowledge of p, then it becomes common knowledge that they know p (viz. ). If every agent publicly announces their knowledge of p, p becomes common knowledge .
Загадка
Идея общего знания часто вводится некоторыми вариантами индукционных головоломок (например, головоломка о детях с голубыми глазами):
На острове есть k человек с голубыми глазами, а у остальных – зеленые. В начале головоломки никто на острове не знает цвет собственных глаз. По правилу, если человек на острове когда-либо узнает, что у него голубые глаза, он должен покинуть остров на рассвете; любой, кто не придет к такому выводу, всегда спит до рассвета. На острове каждый человек знает цвет глаз всех остальных, нет отражающих поверхностей и нет обмена информацией о цвете глаз. В какой-то момент на остров приезжает посторонний и, собрав всех жителей, делает следующее публичное заявление: "По крайней мере у одного из вас голубые глаза". Этот посторонний известен всем как правдивый, и все знают, что все это знают, и так далее: всем известно, что он говорит правду, и, следовательно, становится общеизвестным, что на острове есть хотя бы один человек с голубыми глазами. Задача: определить конечный исход, предполагая, что все жители острова абсолютно логичны (знания каждого участника соответствуют аксиоматическим схемам эпистемической логики), и что это тоже общеизвестно.
Решение
Ответ в том, что на k-й рассвет после объявления все люди с голубыми глазами покинут остров.
Приложения
Общие знания использовались Дэвидом Льюисом в его новаторской теории игр. В этом смысле общее знание – это концепция, остающаяся центральной для лингвистов и философов языка (см. Кларк 1996), придерживающихся левизианского, конвенционалистского подхода к языку. Роберт Ауман предложил теоретико-множественную формулировку общего знания (теоретически эквивалентную приведенной выше) и доказал так называемую теорему о согласии, посредством которой: если два агента имеют общее априорное распределение вероятностей относительно определенного события, а апостериорные вероятности являются общим знанием, то эти апостериорные вероятности равны. Результат, основанный на теореме о согласии и доказанный Милгромом, показывает, что при определенных условиях эффективности рынка и доступности информации спекулятивные сделки невозможны. Понятие общего знания играет центральную роль в теории игр. Долгое время считалось, что предположение об общем знании рациональности игроков является фундаментальным. Однако оказалось (Aumann and Brandenburger 1995), что в играх с двумя игроками общее знание рациональности не требуется как эпистемическое условие для стратегий равновесия Нэша. Специалисты в области компьютерных наук используют языки, включающие эпистемические логики (и общее знание) для рассуждений о распределенных системах. Такие системы могут быть основаны на логиках, более сложных, чем простая пропозициональная эпистемическая логика, например, Wooldridge, "Рассуждения об искусственных агентах" (2000) (в которой используется логика первого порядка, включающая эпистемические и темпоральные операторы), или van der Hoek et al., "Альтернативная эпистемическая логика времени". В своей книге 2007 года "Stuff of Thought: Language as a Window into Human Nature" Стивен Пинкер использует понятие общего знания для анализа видов косвенной речи, используемых в намеках.
В популярной культуре
В комедийном фильме "Жарящий свинец и холодные ноги" есть пример цепочки логики, которая рушится из-за общеизвестных фактов. Денверский Мальчик сообщает своим союзникам, что Клыкающая Змея в городе, но утверждает, что у него есть преимущество: "Он здесь, и я знаю, что он здесь, и он знает, что я знаю, что он здесь, но он не знает, что я знаю, что он знает, что я знаю, что он здесь". Таким образом, оба главных героя знают основной факт (Клыкающая Змея здесь), но это не является "общим знанием". Важно отметить, что это верно даже если Мальчик ошибается: возможно, Клыкающая Змея знает, что Мальчик знает, что она знает, что он знает, но цепь всё равно прерывается, потому что Мальчик этого не знает. Вскоре после этого Клыкающая Змея сталкивается с Мальчиком. Мы видим, как Мальчик осознаёт, что его тщательно выстроенное "преимущество" обернулось общим знанием.
So both protagonists know the main fact (Rattlesnake is here), but it is not “common knowledge”. Note that this is true even if the Kid is wrong: maybe Rattlesnake does know that the Kid knows that he knows that he knows, the chain still breaks because the Kid doesn't know that. Moments later, Rattlesnake confronts the Kid. We see the Kid realizing that his carefully constructed “edge” has collapsed into common knowledge.