Введение
Частичное дифференциальное уравнение, описывающее физические поля. В теоретической физике и прикладной математике уравнение поля — это частичное дифференциальное уравнение, которое определяет динамику физического поля, в частности, изменение во времени и пространственное распределение поля. Решения этого уравнения — математические функции, непосредственно соответствующие полю как функции времени и пространства. Поскольку уравнение поля является частичным дифференциальным уравнением, существует множество семейств решений, представляющих различные физические возможности. Как правило, рассматривается не одно уравнение, а система связанных уравнений, которые необходимо решать одновременно. Уравнения поля не являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, поскольку поле зависит от пространства и времени, что требует как минимум двух переменных. В то время как "уравнение волны", "уравнение диффузии" и "уравнение непрерывности" имеют стандартные формы (и различные частные случаи или обобщения), не существует единого специального уравнения, называемого "уравнением поля". Данная область знаний в целом разделяется на уравнения классической теории поля и квантовой теории поля. Классические уравнения поля описывают многие физические свойства, такие как температура вещества, скорость жидкости, напряжения в упругом материале, электрические и магнитные поля, создаваемые током, и т. д. Они также описывают фундаментальные силы природы, такие как электромагнетизм и гравитация. В квантовой теории поля частицы или системы "частиц", такие как электроны и фотоны, ассоциируются с полями, что обеспечивает бесконечное число степеней свободы (в отличие от конечного числа степеней свободы в механике частиц) и переменное число частиц, которые могут быть созданы или уничтожены.
In theoretical physics and applied mathematics, a field equation is a partial differential equation which determines the dynamics of a physical field, specifically the time evolution and spatial distribution of the field. The solutions to the equation are mathematical functions which correspond directly to the field, as functions of time and space. Since the field equation is a partial differential equation, there are families of solutions which represent a variety of physical possibilities. Usually, there is not just a single equation, but a set of coupled equations which must be solved simultaneously. Field equations are not ordinary differential equations since a field depends on space and time, which requires at least two variables. Whereas the "wave equation", the "diffusion equation", and the "continuity equation" all have standard forms (and various special cases or generalizations), there is no single, special equation referred to as "the field equation". The topic broadly splits into equations of classical field theory and quantum field theory. Classical field equations describe many physical properties like temperature of a substance, velocity of a fluid, stresses in an elastic material, electric and magnetic fields from a current, etc. They also describe the fundamental forces of nature, like electromagnetism and gravity. In quantum field theory, particles or systems of "particles" like electrons and photons are associated with fields, allowing for infinite degrees of freedom (unlike finite degrees of freedom in particle mechanics) and variable particle numbers which can be created or annihilated.
Происхождение
Обычно уравнения поля постулируются (как уравнения поля Эйнштейна и уравнение Шрёдингера, которое является основой всех уравнений квантовой теории поля) или выводятся из результатов экспериментов (как уравнения Максвелла). Мерой их применимости является способность правильно предсказывать и соответствовать экспериментальным данным. С теоретической точки зрения, уравнения поля могут быть сформулированы в рамках лагранжевой теории поля, гамильтоновой теории поля и полевых формулировок принципа стационарного действия. При задании подходящей плотности лагранжиана или гамильтониана, являющейся функцией полей в рассматриваемой системе и их производных, принцип стационарного действия позволяет получить уравнение поля.
Симметрия
Как в классической, так и в квантовой теориях, уравнения поля будут удовлетворять симметрии лежащей в основе физической теории. В большинстве случаев достаточно галилеевой симметрии для скоростей (распространяющихся полей), значительно меньших скорости света. Когда частицы и поля распространяются со скоростями, близкими к скорости света, симметрия Лоренца становится одним из наиболее распространенных вариантов, поскольку уравнение и его решения согласуются со специальной теорией относительности. Другая симметрия возникает из-за калибровочной свободы, которая является неотъемлемой частью уравнений поля. Поля, соответствующие взаимодействиям, могут быть калибровочными полями, что означает, что они могут быть получены из потенциала, и определенные значения потенциалов соответствуют одному и тому же значению поля.
Классификация
Уравнения поля могут быть классифицированы различными способами: классические или квантовые, нерелятивистские или релятивистские, в зависимости от спина или массы поля, числа компонентов поля и того, как эти компоненты преобразуются при изменении координат (например, скалярные поля, векторные поля, тензорные поля, спинорные поля, твисторные поля и т.д.). Они также могут быть классифицированы как дифференциальные уравнения – линейные или нелинейные, в зависимости от порядка высшей производной, или даже как уравнения дробного порядка. Калибровочные поля могут классифицироваться в соответствии с теорией групп, как абелевы или неабелевы.
Волны
Уравнения поля лежат в основе волновых уравнений, поскольку периодически изменяющиеся поля порождают волны. Волновые уравнения можно рассматривать как частный случай уравнений поля, в том смысле, что их часто можно вывести из уравнений поля. Кроме того, при заданных подходящих плотностях Лагранжа или Гамильтона и использовании принципа стационарного действия, волновые уравнения также могут быть получены. Например, уравнения Максвелла позволяют вывести неоднородные уравнения электромагнитных волн, а из уравнений поля Эйнштейна можно получить уравнения для гравитационных волн.
Дополнительные уравнения к уравнениям поля
Не каждое частичное дифференциальное уравнение (ПДУ) в физике автоматически называется "уравнением поля", даже если в нём задействованы поля. Это дополнительные уравнения, призванные задать дополнительные ограничения для рассматриваемой физической системы. "Уравнения неразрывности" и "уравнения диффузии" описывают транспортные явления, даже если они могут включать поля, влияющие на эти процессы. Если "уравнение состояния" принимает форму ПДУ и включает поля, то его обычно не называют уравнением поля, поскольку оно не определяет динамику самих полей. Оно устанавливает связь между различными полями в конкретной среде. Уравнения состояния используются совместно с уравнениями поля, когда необходимо учитывать влияние вещества.