Введение

Значение, которое встречается наиболее часто в наборе данных, концепция "ладов" в теории музыки.

В статистике, мода – это значение, которое встречается наиболее часто в наборе данных. Если X – дискретная случайная величина, то мода – это значение x, при котором функция массы вероятности достигает своего максимального значения (т.е. ). Иными словами, это значение, которое наиболее вероятно будет получено в выборке. Как и статистическое среднее и медиана, мода – это способ выражения важной информации о случайной величине или популяции в виде (обычно) одного числа. Численное значение моды совпадает со значениями среднего и медианы в нормальном распределении, но может сильно отличаться в сильно скошенных распределениях. Мода не обязательно уникальна в заданном дискретном распределении, поскольку функция массы вероятности может принимать одно и то же максимальное значение в нескольких точках x1, x2 и т.д. Наиболее крайний случай наблюдается в равномерных распределениях, где все значения встречаются с одинаковой частотой. Модой непрерывного распределения вероятностей часто считается любое значение x, при котором его функция плотности вероятности имеет локальный максимум. Если функция плотности вероятности непрерывного распределения имеет несколько локальных максимумов, то обычно все локальные максимумы называют модами распределения, то есть любой пик является модой. Такое непрерывное распределение называется мультимодальным (в отличие от унимодального). В симметричных одномодальных распределениях, таких как нормальное распределение, среднее значение (если оно определено), медиана и мода совпадают. Для выборок, если известно, что они взяты из симметричного одномодального распределения, выборочное среднее можно использовать в качестве оценки моды генеральной совокупности.

Использование

В отличие от среднего и медианы, понятие моды также имеет смысл для "номинальных данных" (т.е. не состоящих из числовых значений в случае среднего или даже упорядоченных значений в случае медианы). Например, при анализе выборки корейских фамилий можно обнаружить, что фамилия "Ким" встречается чаще, чем любая другая. Тогда "Ким" будет модой выборки. В любой системе голосования, где победа определяется большинством голосов, единственное модальное значение определяет победителя, а многомодальный результат потребует применения процедуры для разрешения ничьей. В отличие от медианы, понятие моды имеет смысл для любой случайной величины, принимающей значения из векторного пространства, включая действительные числа (одномерное векторное пространство) и целые числа (которые можно рассматривать как вложенные в действительные числа). Например, распределение точек на плоскости обычно имеет среднее и моду, но понятие медианы неприменимо. Медиана имеет смысл, когда существует линейный порядок возможных значений. Обобщениями понятия медианы для пространств более высокой размерности являются геометрическая медиана и центральная точка.

Уникальность и определенность

Для некоторых распределений вероятностей математическое ожидание может быть бесконечным или не определено, но если оно определено, то оно единственно. Среднее значение (конечной) выборки всегда определено. Медиана – это значение, такое что доли значений, не превышающих его и не меньших его, равны или больше 1/2. Она не обязательно единственна, но никогда не бесконечна и не является полностью неопределенной. Для выборки данных это значение, находящееся посередине, когда список значений упорядочен по возрастанию, при этом обычно для списка четной длины берется среднее арифметическое двух значений, ближайших к середине. Наконец, как уже говорилось, мода не обязательно единственна. Некоторые патологические распределения (например, распределение Кантора) вообще не имеют определенной моды. Для конечной выборки данных мода – одно (или несколько) из значений в выборке.

Свойства

Предполагая определенность и, для упрощения, уникальность, ниже приведены некоторые из наиболее интересных свойств. Все три меры обладают следующим свойством: если случайная величина (или каждое значение из выборки) подвергается линейному или аффинному преобразованию, заменяющему X на aX + b, то же самое происходит со средним, медианой и модой. За исключением очень малых выборок, мода нечувствительна к "выбросам" (например, к случайным, редким, ошибочным результатам измерений). Медиана также весьма устойчива к выбросам, в то время как среднее значение достаточно чувствительно к ним. В непрерывных унимодальных распределениях медиана часто располагается между средним и модой, примерно на одной трети расстояния от среднего к моде. В виде формулы: медиана ≈ (2 × среднее + мода) / 3. Это правило, предложенное Карлом Пирсоном, часто применимо к слегка несимметричным распределениям, близким к нормальному, но оно не всегда верно, и в общем случае три статистические характеристики могут располагаться в любом порядке. Для унимодальных распределений мода находится в пределах стандартных отклонений от среднего, а среднеквадратическое отклонение от моды лежит между стандартным отклонением и удвоенным стандартным отклонением.

Пример искаженного распределения

Примером скошенного распределения является личное богатство: мало людей очень богаты, но среди них есть крайне богатые. Однако большинство довольно бедны. Хорошо известный класс распределений, которые могут быть скошены произвольно, задается логнормальным распределением. Оно получается путем преобразования случайной величины X, имеющей нормальное распределение, в случайную величину Y. Тогда логарифм случайной величины Y имеет нормальное распределение, отсюда и название. Если принять среднее значение μ для X равным 0, то медиана Y будет равна 1, независимо от стандартного отклонения σ для X. Это связано с тем, что X имеет симметричное распределение, поэтому его медиана также равна 0. Преобразование из X в Y монотонно, и поэтому мы находим медиану для Y. Когда X имеет стандартное отклонение σ = 0,25, распределение Y слабо скошено. Используя формулы для логнормального распределения, мы находим:

Действительно, медиана находится примерно на одной трети пути от среднего значения к моде. Когда X имеет большее стандартное отклонение, , распределение Y сильно скошено. Теперь

Здесь эмпирическое правило Пирсона не работает.

Одномодальные распределения

Для одномодального распределения можно показать, что медиана и среднее значение лежат в пределах (3/5)¹/² ≈ 0,7746 стандартных отклонений друг от друга. В символах,

где – абсолютная величина. Аналогичное соотношение выполняется и для медианы и моды: они лежат в пределах √3 ≈ 1,732 стандартных отклонений друг от друга:

История

Термин "мода" впервые был введен Карлом Пирсоном в 1895 году. Пирсон использует термин "мода" как синоним "максимальной ординаты". В сноске он отмечает: "Мне показалось удобным использовать термин "мода" для обозначения абсциссы, соответствующей ординате максимальной частоты".