Кіріспе

Деректер жиынтығында ең көп кездесетін мән, музыка теориясының "ладтар" түсінігі.

Статистикада режим – деректер жиынтығында ең көп кездесетін мән. Егер X дискретті кездейсоқ айнымалы болса, режим – ықтималдық массалық функциясы ең жоғары мәніне ие болатын x мәні (яғни, ). Басқаша айтқанда, бұл ең көп кездесетін мән. Статистикалық орташа және медиана сияқты, режим де кездейсоқ айнымалы немесе популяция туралы маңызды ақпаратты (әдетте) бір санмен берудің тәсілі. Режимнің сандық мәні қалыпты үлестірілімде орташа және медиана мәнімен бірдей, бірақ ол өте қисайған үлестірілімдерде өте әртүрлі болуы мүмкін. Режим белгілі бір дискретті үлестірілімде бірегей болуы міндетті емес, себебі ықтималдық массалық функциясы бірнеше x1, x2 және т.б. нүктелерде бірдей ең жоғары мәнді алуы мүмкін. Ең шекті жағдай біртекті үлестірілімде кездеседі, онда барлық мәндер бірдей жиілікпен кездеседі. Ұзындығы бар ықтималдық үлестірілімінің режимі көбінесе оның ықтималдық тығыздық функциясы жергілікті ең жоғары мәнге ие болатын кез келген x мәні деп есептеледі. Ұзындығы бар үлестірілімнің ықтималдық тығыздық функциясы бірнеше жергілікті максимумға ие болған жағдайда, барлық жергілікті максимумдарды үлестірілімнің режимдері деп атау қалыпты, сондықтан кез келген шың – режим. Мұндай үздіксіз үлестірілім көпмодальды деп аталады (унимодальға қарама-қарсы). Симметриялық унимодальды үлестірілімдерде, мысалы, қалыпты үлестірілімде, орташа (егер анықталған болса), медиана және режим барлығы бірдей болады. Егер олар симметриялық унимодальды үлестірілімнен алынғандығы белгілі болса, үлгідегі орташа мәнді популяциялық режимді бағалау ретінде пайдалануға болады.

Қолдану

Орташа және медианадан өзгеше, режим ұғымы "номинальді деректер" үшін де түсінікті (яғни, орташа есептегенде сандық мәндерден, ал медианада тіпті реттелген мәндерден тұрмайтын деректер). Мысалы, корейлік тегтердің үлгісін қарастырсақ, "Ким" тегі басқа тегтерге қарағанда жиірек кездесуі мүмкін. Онда "Ким" сол үлгінің режимі болады. Кез келген дауыс беру жүйесінде көпшілік дауыс жеңімпазды анықтаса, бір режимдік мән жеңімпазды анықтайды, ал көп режимдік нәтижеге қолдану үшін теңдікті шешу процедурасы қажет болады. Медианадан өзгеше, режим ұғымы кез келген кездейсоқ айнымалы үшін векторлық кеңістіктен мәндерді қабылдағанда, соның ішінде нақты сандар (бір өлшемді векторлық кеңістік) және бүтін сандар (оларды нақты сандарға енгізілген деп қарастыруға болады) үшін де түсінікті. Мысалы, жазықтықтағы нүктелердің таралуында әдетте орташа және режим болады, бірақ медиана ұғымы қолданылмайды. Медиана мәндердің сызықтық реті болғанда ғана қолданылады. Медиана ұғымын жоғары өлшемді кеңістікке жалпылауға болатын нәрселер – геометриялық медиана және орталық нүкте.

Бірегейлік және нақтылылық

Кейбір ықтималдық үлестірімдері үшін күтілетін мән шексіз немесе анықталмаған болуы мүмкін, бірақ егер анықталған болса, ол бірегей болады. (Шектелген) үлгідегі орташа мән әрқашан анықталады. Медиана – бұл одан жоғарыламаған және одан төмен түспеген мәндердің үлесінің әрқайсысы кем дегенде 1/2-ге тең болатын мән. Ол міндетті түрде бірегей болмауы мүмкін, бірақ ешқашан шексіз немесе толығымен анықталмаған болмайды. Деректер үлгісі үшін, мәндер тізімі өсу ретімен орналасқанда, бұл "орталық" мән болып табылады, және әдетте, тізімнің ұзындығы жұп болған жағдайда, "орталыққа" ең жақын екі мәннің сандық орташасы алынады. Соңында, бұрын айтқандай, мода міндетті түрде бірегей болмайды. Кейбір патологиялық үлестірімдердің (мысалы, Кантор үлестірімі) мүлдем анықталған модасы жоқ. Шектелген деректер үлгісі үшін мода – үлгідегі мәндердің бірі (немесе бірнешеуі) болып табылады.

Қасиеттері

Анықталғандығын және қарапайымдық үшін бірегейлігін ескере отырып, келесі қасиеттер ең қызықтылары болып табылады. Үш өлшемнің де ортақ қасиеті бар: егер кездейсоқ айнымалы (немесе үлгідегі әрбір мән) X-ті aX + b-ға алмастыратын сызықтық немесе аффиндік түрлендіруге түсетін болса, орташа, медиана және мода да сол түрлендіруге түседі. Өте кішкентай үлгілерден басқа, мода "аутлиерлерге" (мысалы, кездейсоқ, сирек кездесетін, қате тәжірибелік өлшемдерге) төзімді келеді. Медиана да аутлиерлердің болуына өте төзімді, ал орташа мән оларға өте сезімтал. Ұзындығы үздіксіз, бірмодальды үлестірілімдерде медиана көбінесе орташа мән мен мода арасында орналасады, орташа мәннен модаға қарайтын жолдың шамамен үштен бірін құрайды. Формула бойынша, медиана ≈ (2 × орташа + мода) / 3. Бұл ереже, Карл Пирсонға тиесілі, көбінесе қалыпты үлестірілімге ұқсас, сәл симметриясыз үлестірілімдерге қолданылады, бірақ бұл әрқашан дұрыс емес және жалпы алғанда үш статистика кез келген ретпен орналасуы мүмкін. Бірмодальды үлестірілімдер үшін мода орташа мәннің стандарттық қатесінің шегінде болады, ал модаға шаққандағы орташа квадраттық қате стандарттық қате мен оның екі есесі арасында болады.

Бұрмаланған үлестірілімнің мысалы

Жеке байлық – бұрмаланған үлестірілімнің мысалы: аздаған адамдар өте бай, бірақ олардың ішінде кейбіреулері тым бай. Дегенмен, көпшілігі жақсы жағдайда емес. Кез келген деңгейде бұрмалануға болатын үлестірімдердің белгілі бір класы логнормальді үлестіріммен беріледі. Ол қалыпты үлестірілімі бар X кездейсоқ шаманы кездейсоқ шамаға түрлендіру арқылы алынады. Содан кейін Y кездейсоқ шамасының логарифмі қалыпты үлестіріледі, сондықтан осылай аталды. Егер X-тің орташасы μ 0-ге тең болса, Y-тің медианасы X-тің σ стандартты қатесіне тәуелсіз 1-ге тең болады. Бұл X симметриялы түрде үлестірілгендіктен, оның медианасы да 0-ге тең. X-тен Y-ға айналу монотонды, сондықтан Y-тің медианасын анықтаймыз. X стандартты қатесі σ = 0,25 болғанда, Y үлестірімі аз бұрмаланған болады. Логнормальді үлестірілімнің формулаларын қолданып, мынаны анықтаймыз:

Дейін, медиана орташа мен мода арасындағы жолдың шамамен үштен бірін құрайды. Егер X үлкен стандартты қатеге ие болса, Y үлестірімі күшті бұрмаланған болады. Мұнда

Пирсонның эмпирикалық ережесі жұмыс істемейді.

Монодальдық үлестірулер

Бір модульді үлестіру үшін медиана мен орташа мән бір-бірінен (3/5)<sup>1/2</sup> ≈ 0,7746 стандартты ауытқуға тең арақашықтықта жататынын көрсетуге болады. Символдармен былай жазуға болады:

|медиана - орташа| ≤ (3/5)<sup>1/2</sup> ≈ 0,7746σ,

мұндағы σ – стандартты ауытқудың абсолюттік мәні. Медиана мен мода арасында да ұқсас қатынас бар: олар бір-бірінен 3<sup>1/2</sup> ≈ 1,732 стандартты ауытқуға тең арақашықтықта жатыр:

|медиана - мода| ≤ 3<sup>1/2</sup> ≈ 1,732σ.

Тарих

Мод термині 1895 жылы Карл Пирсонмен енгізілді. Пирсон мод терминін максималды ординатамен бірдей мағынада қолданады. Ол әйгілі ескертпесінде былай дейді: "Мен максималды жиілікке сәйкес ординатаға сәйкес келетін абсцисса үшін мод терминін қолдануды ыңғайлы деп таптым".