Введение

В общей теории относительности пространства-времена типа pp-волн, или просто pp-волны, представляют собой важное семейство точных решений уравнения поля Эйнштейна. Термин «pp» обозначает плоско-лобовые волны с параллельным распространением и был введен в 1962 году Юргеном Элерсом и Вольфгангом Кундтом.

Связь с другими теориями

Поскольку они представляют собой очень простой и естественный класс лоренцевых многообразий, определяемых в терминах нулевой конгруэнции, неудивительно, что они также важны для других релятивистских классических теорий поля гравитации. В частности, pp-волны являются точными решениями в теории Бранса — Дикке, различных теориях высшей кривизны и теориях Калуца — Клейна, а также в некоторых теориях гравитации Дж. В. Моффата. Действительно, Б. О. Дж. Таппер показал, что общие вакуумные решения в общей теории относительности и в теории Бранса — Дикке являются как раз вакуумными pp-волнами (однако теория Бранса — Дикке допускает и другие волновые решения). Ханс Юрген Шмидт переформулировал теорию (четырёхмерных) pp-волн в терминах двумерной метрической дилатонной теории гравитации. Pp-волны также играют важную роль в поиске квантовой гравитации, поскольку, как указал Гэри Гиббонс, все квантовые поправки петлевого типа тождественно обращаются в нуль для любого пространства-времени типа pp-волны. Это означает, что изучение квантования пространств-времени pp-волн на уровне дерева позволяет заглянуть в ещё неизученный мир квантовой гравитации. Естественно обобщать pp-волны на большее число измерений, где они сохраняют сходные свойства. К. М. Халл показал, что такие многомерные pp-волны являются фундаментальными строительными блоками для одиннадцатимерной супергравитации.

Геометрические и физические свойства

Волны ПП обладают многочисленными поразительными свойствами. Некоторые из их более абстрактных математических свойств уже упоминались. В этом разделе представлены некоторые дополнительные свойства. Рассмотрим инерциального наблюдателя в пространстве-времени Минковского, который встречает плоскую волну типа «сэндвич». Такой наблюдатель будет испытывать интересные оптические эффекты. Если он посмотрит на входящие волновые фронты в далеких галактиках, которые уже столкнулись с волной, он увидит их изображения без искажений. Это должно быть так, поскольку он не может узнать о приближении волны, пока она не достигнет его местоположения, так как она движется со скоростью света. Однако это можно подтвердить прямым вычислением оптических скаляров нулевой конгруэнции. Теперь предположим, что после прохождения волны наш наблюдатель поворачивается и смотрит сквозь отходящие волновые фронты на далекие галактики, до которых волна еще не дошла. Теперь он видит, что их оптические изображения искажены и масштабированы (увеличены или уменьшены) со временем. Если волна является поляризованной гравитационной плоской волной, он увидит циклически сжимающиеся горизонтально и расширяющиеся вертикально, а затем сжимающиеся вертикально и расширяющиеся горизонтально изображения. Это непосредственно демонстрирует характерное влияние гравитационной волны в общей теории относительности на свет. Влияние проходящей поляризованной гравитационной плоской волны на относительное положение облака (первоначально неподвижных) пробных частиц будет качественно очень похожим. Стоит отметить, что в общем случае движение пробных частиц в пространстве-времени ПП-волн может проявлять хаотичность. Хорошо известно, что уравнение поля Эйнштейна нелинейно. Это означает, что если у вас есть два точных решения, почти никогда не существует способа их линейного суперпозиционирования. Волны ПП представляют собой редкое исключение из этого правила: если у вас есть две ПП-волны, имеющие один и тот же ковариантно постоянный нулевой вектор (одну и ту же геодезическую нулевую конгруэнцию, то есть одно и то же волновое векторное поле), с метрическими функциями соответственно, то дает третье точное решение. Роджер Пенроуз заметил, что вблизи нулевой геодезической любое лоренцево пространство-время выглядит как плоская волна. Чтобы это показать, он использовал методы, заимствованные из алгебраической геометрии, для «раздутия» пространства-времени, так что данная нулевая геодезическая становится ковариантно постоянной нулевой геодезической конгруэнцией плоской волны. Эта конструкция называется пределом Пенроуза. Пенроуз также указал, что в пространстве-времени ПП-волны все полиномиальные скалярные инварианты тензора Римана тождественно равны нулю, однако кривизна почти никогда не равна нулю. Это связано с тем, что в четырех измерениях все ПП-волны принадлежат к классу пространств-времени VSI. Это утверждение неверно в более высоких измерениях, поскольку существуют многомерные ПП-волны алгебраического типа II с ненулевыми полиномиальными скалярными инвариантами. Если рассматривать тензор Римана как тензор второго ранга, действующий на бивекторы, то исчезновение инвариантов аналогично тому факту, что ненулевой нулевой вектор имеет нулевую квадратную длину. Пенроуз также первым понял странную природу причинности в пространстве-времени ПП-волны типа «сэндвич». Он показал, что некоторые или все нулевые геодезические, испущенные в данном событии, будут перефокусированы в более позднем событии (или последовательности событий). Детали зависят от того, является ли волна чисто гравитационной, чисто электромагнитной или ни тем, ни другим. Каждая ПП-волна допускает множество различных диаграмм Бринкмана. Они связаны преобразованиями координат, которые в данном контексте можно рассматривать как калибровочные преобразования. В случае плоских волн эти калибровочные преобразования позволяют нам всегда рассматривать две сталкивающиеся плоские волны как имеющие параллельные волновые фронты, и, следовательно, можно сказать, что волны сталкиваются лоб в лоб. Это точный результат в полностью нелинейной общей теории относительности, аналогичный аналогичному результату относительно электромагнитных плоских волн, рассматриваемых в специальной теории относительности.