Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
О делимости среди множеств целых чисел
On divisibility among sets of integers
В теории чисел проблема Знама ставит вопрос о том, какие множества целых чисел обладают свойством, что каждое целое число в множестве является собственным делителем произведения остальных чисел в множестве, увеличенного на 1. Проблема Знама названа в честь словацкого математика Штефана Знама, который предложил её в 1972 году, хотя другие математики рассматривали схожие задачи примерно в то же время. Первые члены последовательности Сильвестра почти решают эту проблему, за исключением того, что последний выбранный член равен единице плюс произведению остальных, а не является их собственным делителем. Было показано, что существует как минимум одно решение (правильной) проблемы Знама для каждого решения Суна, основанное на рекуррентном соотношении, аналогичном тому, что используется для последовательности Сильвестра, но с другим набором начальных значений. Проблема Знама тесно связана с египетскими дробями. Известно, что для любого фиксированного числа существует лишь конечное число решений. Неизвестно, существуют ли решения проблемы Знама, использующие только нечётные числа, и остаётся ряд других открытых вопросов.
In number theory, Znám's problem asks which sets of integers have the property that each integer in the set is a proper divisor of the product of the other integers in the set, plus 1. Znám's problem is named after the Slovak mathematician Štefan Znám, who suggested it in 1972, although other mathematicians had considered similar problems around the same time. The initial terms of Sylvester's sequence almost solve this problem, except that the last chosen term equals one plus the product of the others, rather than being a proper divisor. showed that there is at least one solution to the (proper) Znám problem for each Sun's solution is based on a recurrence similar to that for Sylvester's sequence, but with a different set of initial values. The Znám problem is closely related to Egyptian fractions. It is known that there are only finitely many solutions for any fixed It is unknown whether there are any solutions to Znám's problem using only odd numbers, and there remain several other open questions.
История
Проблема Знама названа в честь словацкого математика Штефана Знама, который предложил её в 1972 году. ранее поставил некорректную задачу Знама для , и независимо от Знама, нашёл все решения некорректной задачи для . показал, что проблема Знама не имеет решений для , и отдает должное Дж. Янаку за нахождение решения для .
Znám's problem is named after the Slovak mathematician Štefan Znám, who suggested it in 1972. had posed the improper Znám problem for , and , independently of Znám, found all solutions to the improper problem for showed that Znám's problem is unsolvable for , and credited J. Janák with finding the solution for .
Примеры
Последовательность Сильвестра — это целочисленная последовательность, в которой каждый член равен единице плюс произведению предыдущих членов. Первые несколько членов последовательности:
Sylvester's sequence is an integer sequence in which each term is one plus the product of the previous terms. The first few terms of the sequence are
Преждевременная остановка последовательности приводит к множеству, которое почти удовлетворяет условиям задачи Знама, за исключением того, что наибольшее значение равно единице плюс произведение остальных членов, а не является делителем. Таким образом, это решение обобщённой задачи Знама, но не решение задачи Знама в её обычном определении. Одно из решений задачи Знама для , выглядит так: Несколько вычислений покажут, что
Stopping the sequence early produces a set like that almost meets the conditions of Znám's problem, except that the largest value equals one plus the product of the other terms, rather than being a proper divisor. Thus, it is a solution to the improper Znám problem, but not a solution to Znám's problem as it is usually defined. One solution to the proper Znám problem, for , is A few calculations will show that
3 × 7 × 47 × 395 + 1 = 389866, которое делится на 2, но не равно ему, 2 × 7 × 47 × 395 + 1 = 259911, которое делится на 3, но не равно ему, 2 × 3 × 47 × 395 + 1 = 111391, которое делится на 7, но не равно ему, 2 × 3 × 7 × 395 + 1 = 16591, которое делится на 47, но не равно ему, и 2 × 3 × 7 × 47 + 1 = 1975, которое делится на 395, но не равно ему.
3 × 7 × 47 × 395 + 1 = 389866, which is divisible by but unequal to 2, 2 × 7 × 47 × 395 + 1 = 259911, which is divisible by but unequal to 3, 2 × 3 × 47 × 395 + 1 = 111391, which is divisible by but unequal to 7, 2 × 3 × 7 × 395 + 1 = 16591, which is divisible by but unequal to 47, and 2 × 3 × 7 × 47 + 1 = 1975, which is divisible by but unequal to 395.