Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Свойство наличия единственной моды или максимального значения.
Property of having a unique mode or maximum value
В математике унимодальность означает наличие единственной моды. В более общем смысле, унимодальность означает, что существует только одно максимальное значение, определённое каким-либо образом, для некоторого математического объекта.
In mathematics, unimodality means possessing a unique mode. More generally, unimodality means there is only a single highest value, somehow defined, of some mathematical object.
Одномодное распределение вероятностей
В статистике унимодальное распределение вероятностей, или унимодальное распределение, – это распределение вероятностей, имеющее единственный пик. Термин "мода" в данном контексте относится к любому пику распределения, а не только к строгому определению моды, обычно используемому в статистике. Если присутствует единственная мода, функция распределения называется "унимодальной". Если же мода несколько, то распределение называется "бимодальным" (2), "тримодальным" (3) и так далее, или в общем случае – "мультимодальным". На рисунке 1 изображены нормальные распределения, которые являются унимодальными. Другие примеры унимодальных распределений включают распределение Коши, t-распределение Стьюдента, распределение хи-квадрат и экспоненциальное распределение. Среди дискретных распределений биномиальное распределение и распределение Пуассона можно считать унимодальными, хотя при некоторых параметрах они могут иметь два соседних значения с одинаковой вероятностью. На рисунках 2 и 3 изображены бимодальные распределения.
In statistics, a unimodal probability distribution or unimodal distribution is a probability distribution which has a single peak. The term "mode" in this context refers to any peak of the distribution, not just to the strict definition of mode which is usual in statistics. If there is a single mode, the distribution function is called "unimodal". If it has more modes it is "bimodal" (2), "trimodal" (3), etc., or in general, "multimodal". Figure 1 illustrates normal distributions, which are unimodal. Other examples of unimodal distributions include Cauchy distribution, Student's t distribution, chi squared distribution and exponential distribution. Among discrete distributions, the binomial distribution and Poisson distribution can be seen as unimodal, though for some parameters they can have two adjacent values with the same probability. Figure 2 and Figure 3 illustrate bimodal distributions.
Использование и результаты
Одной из причин важности унимодальности распределения является то, что она позволяет получить ряд важных результатов. Ниже приведены несколько неравенств, которые верны только для унимодальных распределений. Поэтому важно оценить, соответствует ли заданный набор данных унимодальному распределению. В статье, посвященной мультимодальным распределениям, описаны несколько тестов на унимодальность.
One reason for the importance of distribution unimodality is that it allows for several important results. Several inequalities are given below which are only valid for unimodal distributions. Thus, it is important to assess whether or not a given data set comes from a unimodal distribution. Several tests for unimodality are given in the article on multimodal distribution.
Неравенство Гаусса
Первым важным результатом является неравенство Гаусса. Неравенство Гаусса дает верхнюю границу вероятности того, что значение лежит больше, чем любое данное расстояние от его режима. Это неравенство зависит от одномодальности.
A first important result is Gauss's inequality. Gauss's inequality gives an upper bound on the probability that a value lies more than any given distance from its mode. This inequality depends on unimodality.
Высочанский Петунин
Второе неравенство - это неравенство Высочанского-Петунина, усовершенствованное неравенство Чебышева. Неравенство Чебишева гарантирует, что в любом распределении вероятностей "почти все" значения "близки" к среднему значению. Неравенство Высочанского-Петунина усовершенствует это до еще более близких значений, при условии, что функция распределения непрерывна и одномодная. Дальнейшие результаты были показаны Sellke и Sellke.
A second is the Vysochanskiï–Petunin inequality, a refinement of the Chebyshev inequality. The Chebyshev inequality guarantees that in any probability distribution, "nearly all" the values are "close to" the mean value. The Vysochanskiï–Petunin inequality refines this to even nearer values, provided that the distribution function is continuous and unimodal. Further results were shown by Sellke and Sellke.
Другие расширения
Функция f ((x) является "S unimodal" (часто называемая "S unimodal map"), если ее производная Шварца отрицательна для всех , где критическая точка. В вычислительной геометрии, если функция унимодальна, это позволяет разработать эффективные алгоритмы для нахождения крайней части функции. Более общее определение, применимое к функции f ((X) векторной переменной X, заключается в том, что f является одномодальной, если существует дифференцируемое отображение X = G ((Z) таким образом, что f ((G ((Z)) является выпуклой. Обычно хотелось бы, чтобы G ((Z) был непрерывно дифференцируемым с несингулярной якобийской матрицей. Квазиконвексные функции и квазиконкавные функции расширяют понятие унимодальности на функции, аргументы которых относятся к более высоким размерным евклидовым пространствам.
A function f(x) is "S unimodal" (often referred to as "S unimodal map") if its Schwarzian derivative is negative for all , where is the critical point. In computational geometry if a function is unimodal it permits the design of efficient algorithms for finding the extrema of the function. A more general definition, applicable to a function f(X) of a vector variable X is that f is unimodal if there is a one to one differentiable mapping X = G(Z) such that f(G(Z)) is convex. Usually one would want G(Z) to be continuously differentiable with nonsingular Jacobian matrix. Quasiconvex functions and quasiconcave functions extend the concept of unimodality to functions whose arguments belong to higher dimensional Euclidean spaces.