Введение
Ноток
Математические тождества для чисел Фибоначчи
Тождество Кассини (иногда называемое тождеством Симсона) и тождество Каталана — это математические тождества для чисел Фибоначчи. Тождество Кассини, частный случай тождества Каталана, утверждает, что для n-го числа Фибоначчи,
Mathematical identities for the Fibonacci numbers
Cassini's identity (sometimes called Simson's identity) and Catalan's identity are mathematical identities for the Fibonacci numbers. Cassini's identity, a special case of Catalan's identity, states that for the nth Fibonacci number,
Здесь F₀ принимается равным 0, а F₁ принимается равным 1. Тождество Каталана обобщает это:
Тождество Ваджды обобщает это:
История
Формула Кассини была обнаружена в 1680 году Джованни Доменико Кассини, тогдашним директором Парижской обсерватории, и независимо доказана Робертом Симсоном (1753). Идентичность каталонского языка названа в честь Евгения Каталана (18141894). Его можно найти в одной из его личных исследовательских записок, озаглавленной "Sur la série de Lamé" и датированной октябрем 1879 года. Однако, идентичность не появилась в печати до декабря 1886 года как часть его собранных работ Это объясняет, почему некоторые дают 1879 год, а другие 1886 год как дату для идентичности Каталана. Венгерский британский математик Стивен Вайда (190195) опубликовал книгу о числах Фибоначчи (Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications, 1989), которая содержит идентичность, носящую его имя. Однако идентичность была опубликована ранее в 1960 году Дустаном Эверманом как проблема 1396 в The American Mathematical Monthly, а в 1901 году Альберто Тагиури в Periodico di Matematica.
The Hungarian British mathematician Steven Vajda (1901–95) published a book on Fibonacci numbers (Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications, 1989) which contains the identity carrying his name. However, the identity had been published earlier in 1960 by Dustan Everman as problem 1396 in The American Mathematical Monthly, and in 1901 by Alberto Tagiuri in Periodico di Matematica.
Доказательство по матричной теории
Быстрое доказательство тождества Кассини можно получить, рассматривая левую часть уравнения как определитель матрицы 2×2, составленной из чисел Фибоначчи. Результат становится почти очевидным, если заметить, что эта матрица является n-й степенью матрицы с определителем −1.