Введение
Тип математического обобщения, в котором исходный вариант является пределом при q, стремящемся к 1. В математике, q-аналог теоремы, тождества или выражения — это обобщение, включающее новый параметр q, которое возвращает исходную теорему, тождество или выражение в пределе при q → 1. Как правило, математиков интересуют q-аналоги, возникающие естественным образом, а не искусственно сконструированные q-аналоги известных результатов. Самый ранний q-аналог, изученный подробно, — это базовый гипергеометрический ряд, который был введен в XIX веке. q-аналоги чаще всего изучаются в математических областях комбинаторики и специальных функций. В этих областях предел q → 1 часто является формальным, поскольку q часто принимает дискретные значения (например, может представлять собой степень простого числа). q-аналоги находят применение в ряде областей, включая изучение фракталов и мультифрактальных мер, а также выражения для энтропии хаотических динамических систем. Связь с фракталами и динамическими системами обусловлена тем, что многие фрактальные структуры обладают симметриями фуксианских групп в общем случае (см., например, «Жемчужины Индры» и «Аполлонова прокладка») и модульной группы в частности. Эта связь проходит через гиперболическую геометрию и эргодическую теорию, где эллиптические интегралы и модулярные формы играют важную роль; сами q-ряды тесно связаны с эллиптическими интегралами. q-аналоги также появляются в исследовании квантовых групп и q-деформированных супералгебр. Связь здесь аналогична, поскольку значительная часть теории струн изложена на языке поверхностей Римана, что приводит к связям с эллиптическими кривыми, которые, в свою очередь, связаны с q-рядами.
In mathematics, a q analog of a theorem, identity or expression is a generalization involving a new parameter q that returns the original theorem, identity or expression in the limit as q → 1. Typically, mathematicians are interested in q analogs that arise naturally, rather than in arbitrarily contriving q analogs of known results. The earliest q analog studied in detail is the basic hypergeometric series, which was introduced in the 19th century. q analogs are most frequently studied in the mathematical fields of combinatorics and special functions. In these settings, the limit q → 1 is often formal, as q is often discrete valued (for example, it may represent a prime power). q analogs find applications in a number of areas, including the study of fractals and multi fractal measures, and expressions for the entropy of chaotic dynamical systems. The relationship to fractals and dynamical systems results from the fact that many fractal patterns have the symmetries of Fuchsian groups in general (see, for example Indra's pearls and the Apollonian gasket) and the modular group in particular. The connection passes through hyperbolic geometry and ergodic theory, where the elliptic integrals and modular forms play a prominent role; the q series themselves are closely related to elliptic integrals. q analogs also appear in the study of quantum groups and in q deformed superalgebras. The connection here is similar, in that much of string theory is set in the language of Riemann surfaces, resulting in connections to elliptic curves, which in turn relate to q series.
Циклическое просеивание
Пусть q = (e^(2πi/n))^d будет d-й степенью примитивного n-го корня из единицы. Пусть C — циклическая группа порядка n, порожденная элементом c. Пусть X — множество k-элементных подмножеств n-элементного множества {1, 2, ..., n}. Группа C имеет каноническое действие на X, заданное отображением c в циклическую перестановку (1, 2, ..., n). Тогда число неподвижных точек cd на X равно
q → 1
И наоборот, позволяя q изменяться и рассматривая q-аналоги как деформации, можно рассматривать комбинаторный случай, когда q = 1, как предел q-аналогов при q → 1 (часто нельзя просто подставить q = 1 в формулы, поэтому необходимо брать предел). Это можно формализовать в поле из одного элемента, которое восстанавливает комбинаторику как линейную алгебру над этим полем: например, группы Вейля являются простыми алгебраическими группами над полем из одного элемента.
Применение в физических науках
q-аналоги часто встречаются в точных решениях задач многих тел. В таких случаях предел q → 1 обычно соответствует относительно простой динамике, например, динамике без нелинейных взаимодействий, а q < 1 позволяет понять сложный нелинейный режим с обратной связью. Примером из атомной физики является модель создания молекулярного конденсата из ультрахолодного фермионного атомного газа при изменении внешнего магнитного поля вблизи резонанса Фешбаха. Этот процесс описывается моделью с q-деформированной версией алгебры операторов SU(2), а его решение – q-деформированными экспоненциальными и биномиальными распределениями.