Введение
В математике плановые алгебры впервые возникли в работах Вогана Джонса, посвященных стандартному инварианту II1-субфактора. Они также предоставляют подходящую алгебраическую структуру для многих инвариантов узлов (в частности, полинома Джонса) и использовались для описания свойств гомологии Хованова относительно композиции зацеплений. Любая плановая алгебра, связанная с субфактором, дает семейство унитарных представлений групп Томпсона. Любую конечную группу (и ее квантовое обобщение) можно закодировать в виде плановой алгебры.
Плановые зацепления
(Затенённая) плоская путаница – это набор из конечного числа входных дисков, одного выходного диска, непересекающихся нитей, дающих четное число, скажем *n*, интервалов на диск и одного выделенного интервала на диск. Здесь выделение обозначается фигурой. На каждом входном диске оно располагается между двумя соседними исходящими нитями, а на выходном диске – между двумя соседними входящими нитями. Плоская путаница определяется с точностью до изотопии.
Состав
Чтобы составить два плоских зацепления, поместите выходной диск одного в вход другого, при этом количество интервалов должно быть одинаковым, заштриховка отмеченных интервалов – идентичной, а сами отмеченные интервалы должны совпадать. Наконец, удалите совпадающие окружности. Обратите внимание, что два плоских зацепления могут иметь ноль, одну или несколько возможных композиций.
Планарная опера
Плоская операда — это множество всех планарных запутываний (с точностью до изоморфизма) с такими композициями.
Плановая алгебра
Планарная алгебра — это представление планарной оперы; точнее, это семейство векторных пространств, называемых пространствами ящиков, на которых действует планарная опера, то есть для любой запутанности (с одним выходным диском и входными дисками с *n* и *m* интервалами соответственно) существует мультилинейное отображение
с *i* в соответствии с заштриховкой отмеченных интервалов, и эти отображения (также называемые функциями разбиения) сохраняют композицию запутанностей таким образом, что все диаграммы, подобные приведенным ниже, коммутируют.
Плановые зацепления
Семейство векторных пространств, порожденных плоскими зацеплениями с интервалами на выходном диске и выделенным белым (или черным) интервалом, обладает структурой плоской алгебры.
Алгебра Хопфа
Полупростая и космипростая алгебра Хопфа над алгебраически замкнутым полем кодируется в плоскостной алгебре, заданной генераторами и соотношениями, и "соответствует" (с точностью до изоморфизма) связной, неприводимой, сферической, невырожденной плоскостной алгебре с ненулевым модулем и глубиной два. Следует отметить, что связность означает (как это будет определено ниже для оцениваемых), неприводимость означает, сфера определяется ниже, а невырожденность означает, что следы (определенные ниже) невырождены.