Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математической области теории узлов, многочлен узла — это инвариант узла, представленный в виде полинома, коэффициенты которого кодируют некоторые свойства заданного узла.
In the mathematical field of knot theory, a knot polynomial is a knot invariant in the form of a polynomial whose coefficients encode some of the properties of a given knot.
История
Первый полином узла, полином Александра, был введен Джеймсом Уэдделлом Александром II в 1923 году. Другие полиномы узлов были найдены лишь спустя почти 60 лет. В 1960-х годах Джон Конвей предложил скейн-соотношение для версии полинома Александра, обычно называемого полиномом Александра-Конвея. Значимость этого скейн-соотношения не была осознана до начала 1980-х годов, когда Вон Джонс открыл полином Джонса. Это привело к открытию других полиномов узлов, таких как так называемый полином HOMFLY. Вскоре после открытия Джонса Луи Кауфман заметил, что полином Джонса можно вычислить с помощью функции разбиения (модель суммирования состояний), которая включала в себя скобочный полином – инвариант узлов с обрамлением. Это открыло новые направления исследований, связывающие теорию узлов и статистическую механику. В конце 1980-х годов было сделано два взаимосвязанных прорыва. Эдвард Виттен показал, что полином Джонса и подобные инварианты типа Джонса имеют интерпретацию в теории Черна-Саймонса. Виктор Васильев и Михаил Гуссаров начали разработку теории инвариантов узлов конечного типа. Известно, что коэффициенты вышеупомянутых полиномов являются инвариантами конечного типа (возможно, после подходящего "изменения переменных"). В последние годы было показано, что полином Александра связан с гомологией Флоэра. Градуированная характеристика Эйлера гомологии узла Флоэра, разработанная Питером Озсватом и Золтаном Сабо, является полиномом Александра.
The first knot polynomial, the Alexander polynomial, was introduced by James Waddell Alexander II in 1923. Other knot polynomials were not found until almost 60 years later. In the 1960s, John Conway came up with a skein relation for a version of the Alexander polynomial, usually referred to as the Alexander–Conway polynomial. The significance of this skein relation was not realized until the early 1980s, when Vaughan Jones discovered the Jones polynomial. This led to the discovery of more knot polynomials, such as the so called HOMFLY polynomial. Soon after Jones' discovery, Louis Kauffman noticed the Jones polynomial could be computed by means of a partition function (state sum model), which involved the bracket polynomial, an invariant of framed knots. This opened up avenues of research linking knot theory and statistical mechanics. In the late 1980s, two related breakthroughs were made. Edward Witten demonstrated that the Jones polynomial, and similar Jones type invariants, had an interpretation in Chern–Simons theory. Viktor Vasilyev and Mikhail Goussarov started the theory of finite type invariants of knots. The coefficients of the previously named polynomials are known to be of finite type (after perhaps a suitable "change of variables"). In recent years, the Alexander polynomial has been shown to be related to Floer homology. The graded Euler characteristic of the knot Floer homology of Peter Ozsváth and Zoltan Szabó is the Alexander polynomial.