Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Уникальный узел с числом пересечений четыре.
Unique knot with a crossing number of four
В теории узлов восьмёрка (также называемый узлом Листинга) — это уникальный узел с числом пересечений четыре. Это делает его узлом с третьим наименьшим возможным числом пересечений после тривиального узла и трилистника. Восьмёрка — это простой узел.
In knot theory, a figure eight knot (also called Listing's knot) is the unique knot with a crossing number of four. This makes it the knot with the third smallest possible crossing number, after the unknot and the
trefoil knot. The figure eight knot is a prime knot.
Происхождение названия
Это название дано, потому что, завязав обычный восьмёрный узел на веревке и затем соединив её концы самым естественным образом, можно получить модель математического узла.
The name is given because tying a normal figure eight knot in a rope and then joining the ends together, in the most natural way, gives a model of the mathematical knot.
Математические свойства
Фигура восьми узла играла важную роль в истории (и продолжает играть) в теории трехмерных многообразий. В середине-конце 1970-х годов Уильям Турстон показал, что фигура восьми является гиперболической, разложив ее дополнение на два идеальных гиперболических тетраэдра. (Роберт Райли и Тройлс Йоргенсен, работая независимо друг от друга, ранее показали, что фигура восьми узла является гиперболической другими способами.) Эта конструкция, новая для того времени, привела его ко многим мощным результатам и методам. Например, он смог показать, что все, кроме десяти операций Дена на фигуре восьми узла, приводили к нередуцируемым трехмерным многообразиям, не являющимся многообразиями Хакена и не имеющим расслоения Сейферта; это были первые такие примеры. Многие другие были обнаружены путем обобщения конструкции Турстона для других узлов и зацеплений. Фигура восьми узла также является гиперболическим узлом, чье дополнение имеет наименьший возможный объем, , где – функция Лобачевского. С этой точки зрения, фигуру восьми узла можно считать простейшим гиперболическим узлом. Дополнение фигуры восьми узла является двойным накрытием многообразия Гизекинга, которое имеет наименьший объем среди некомпактных гиперболических трехмерных многообразий. Фигура восьми узла и (−2,3,7) – прецельный узел – единственные два гиперболических узла, которым известно более 6 исключительных операций, операций Дена, приводящих к негиперболическому трехмерному многообразию; у них 10 и 7 соответственно. Теорема Лакенби и Мейерхоффа, доказательство которой опирается на гипотезу геометризации и компьютерную помощь, утверждает, что 10 – наибольшее возможное число исключительных операций для любого гиперболического узла. Однако в настоящее время неизвестно, является ли фигура восьми узла единственным, достигающим границы в 10. Широко известна гипотеза о том, что граница (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6. Фигура восьми узла имеет род 1 и является волокнистым. Поэтому его дополнение расслаивается на окружность, слои являются поверхностями Сейферта, представляющими собой двумерные торы с одним граничным компонентом. Монодромное отображение является тогда гомеоморфизмом двумерного тора, который в данном случае может быть представлен матрицей .
The figure eight knot has played an important role historically (and continues to do so) in the theory of 3 manifolds. Sometime in the mid to late 1970s, William Thurston showed that the figure eight was hyperbolic, by decomposing its complement into two ideal hyperbolic tetrahedra. (Robert Riley and Troels Jørgensen, working independently of each other, had earlier shown that the figure eight knot was hyperbolic by other means.) This construction, new at the time, led him to many powerful results and methods. For example, he was able to show that all but ten Dehn surgeries on the figure eight knot resulted in non Haken, non Seifert fibered irreducible 3 manifolds; these were the first such examples. Many more have been discovered by generalizing Thurston's construction to other knots and links. The figure eight knot is also the hyperbolic knot whose complement has the smallest possible volume, , where is the Lobachevsky function. From this perspective, the figure eight knot can be considered the simplest hyperbolic knot. The figure eight knot complement is a double cover of the Gieseking manifold, which has the smallest volume among non compact hyperbolic 3 manifolds. The figure eight knot and the (−2,3,7) pretzel knot are the only two hyperbolic knots known to have more than 6 exceptional surgeries, Dehn surgeries resulting in a non hyperbolic 3 manifold; they have 10 and 7, respectively. A theorem of Lackenby and Meyerhoff, whose proof relies on the geometrization conjecture and computer assistance, holds that 10 is the largest possible number of exceptional surgeries of any hyperbolic knot. However, it is not currently known whether the figure eight knot is the only one that achieves the bound of 10. A well known conjecture is that the bound (except for the two knots mentioned) is 6. The figure eight knot has genus 1 and is fibered. Therefore its complement fibers over the circle, the fibers being Seifert surfaces which are 2 dimensional tori with one boundary component. The monodromy map is then a homeomorphism of the 2 torus, which can be represented in this case by the matrix .