Введение
В математической теории узлов, развязка, или тривиальный узел, является самым простым из всех узлов. Интуитивно, развязка – это замкнутая петля веревки без завязанного узла, то есть не завязанная петля. Для специалистов по теории узлов, развязка – это любое топологическое вложение окружности в трехмерную сферу, которое можно непрерывно деформировать в геометрически правильную окружность, называемую стандартной развязкой. Развязка – единственный узел, являющийся границей вложенного диска, что характеризует развязки как узлы с родом Зейферта, равным 0. Аналогично, развязка является нейтральным элементом относительно операции суммирования узлов.
In the mathematical theory of knots, the unknot, not knot, or trivial knot, is the least knotted of all knots. Intuitively, the unknot is a closed loop of rope without a knot tied into it, unknotted. To a knot theorist, an unknot is any embedded topological circle in the 3 sphere that is ambient isotopic (that is, deformable) to a geometrically round circle, the standard unknot. The unknot is the only knot that is the boundary of an embedded disk, which gives the characterization that only unknots have Seifert genus 0. Similarly, the unknot is the identity element with respect to the knot sum operation.
Проблема развязки
Решение вопроса о том, является ли данный узел тривиальным, стало мощным стимулом для развития инвариантов узлов, поскольку предполагалось, что такой подход может привести к эффективному алгоритму распознавания тривиального узла по некоторому представлению, например, по диаграмме узла. Известно, что задача распознавания тривиального узла принадлежит как к классу NP, так и к классу co NP. Также известно, что гомология Флоера узла и гомология Хованова позволяют определить, является ли узел тривиальным, однако не известно, что их можно эффективно вычислить для этой цели. Неизвестно, способны ли полином Джонса или инварианты конечного типа распознавать тривиальный узел.
Примеры
Может быть сложно найти способ распутать нить, хотя тот факт, что изначально она была распутанной, доказывает, что задача выполнима. Thistlethwaite и Ochiai привели множество примеров диаграмм тривиального узла, которые не имеют очевидного способа упрощения, требуя временного увеличения числа пересечений на диаграмме. Хотя веревка обычно не представляет собой замкнутую петлю, иногда существует естественный способ представить её концы соединенными. С этой точки зрения, многие полезные практические узлы на самом деле являются тривиальным узлом, включая те, которые можно завязать петлей. Любой узел можно представить в виде сплетения, которое представляет собой набор жестких отрезков, соединенных шарнирами на концах. Число палочек – это минимальное количество отрезков, необходимых для представления узла в виде сплетения, а застрявший тривиальный узел – это конкретное тривиальное сплетение, которое нельзя переконфигурировать в плоский выпуклый многоугольник. Подобно числу пересечений, сплетение может потребоваться усложнить, разделив его отрезки, прежде чем его можно будет упростить.