Введение
Математическая концепция
В математике, многообразие Хакена — это компактное, P²-неразложимое 3-многообразие, достаточно большое по размеру, то есть содержащее правильно вложенную двустороннюю несжимаемую поверхность. Иногда рассматриваются только ориентируемые многообразия Хакена, в этом случае многообразие Хакена — это компактное, ориентируемое, неразложимое 3-многообразие, содержащее ориентируемую несжимаемую поверхность. 3-многообразие, конечно покрываемое многообразием Хакена, называется виртуально Хакеновым. Виртуально-Хакенова гипотеза утверждает, что каждое компактное, неразложимое 3-многообразие с бесконечной фундаментальной группой является виртуально Хакеновым. Эта гипотеза была доказана Ианом Аголом. Многообразия Хакена были введены Хакеном, который доказал, что многообразия Хакена имеют иерархию, где их можно разложить на 3-шары вдоль несжимаемых поверхностей. Хакен также показал, что существует конечный алгоритм для нахождения несжимаемой поверхности, если 3-многообразие её содержит. Был разработан алгоритм для определения, является ли 3-многообразие Хакеновым. Нормальные поверхности повсеместно встречаются в теории многообразий Хакена, и их простая и жесткая структура естественным образом приводит к алгоритмам.
Иерархия Хакена
Мы рассмотрим только случай ориентируемых многообразий Хакена, поскольку это упрощает обсуждение; регулярная окрестность ориентируемой поверхности в ориентируемом 3-многообразии – это просто "утолщенная" версия поверхности, то есть тривиальный I-расслоение. Таким образом, регулярная окрестность является трехмерным подмногообразием с границей, содержащей две копии поверхности. Для ориентируемого многообразия Хакена M, по определению, оно содержит ориентируемую, несжимаемую поверхность S. Возьмем регулярную окрестность S и удалим ее внутренность из M, получив M'. По сути, мы разрезали M вдоль поверхности S. (Это аналогично, в одном измерении меньше, разрезанию поверхности вдоль окружности или дуги.) Существует теорема, утверждающая, что любое ориентируемое компактное многообразие с граничной компонентой, не являющейся сферой, имеет бесконечную первую группу гомологий, что подразумевает наличие правильно вложенной двусторонней, неразделяющей несжимаемой поверхности, и, следовательно, снова является многообразием Хакена. Таким образом, мы можем выбрать другую несжимаемую поверхность в M' и разрезать вдоль нее. Если в конечном итоге эта последовательность разрезаний приводит к многообразию, чьи части (или компоненты) являются лишь 3-мерными шарами, мы называем эту последовательность иерархией.
Приложения
Иерархия делает доказательство определенных типов теорем о многообразиях Хакена вопросом индукции. Сначала доказывают теорему для трех шаров. Затем доказывают, что если теорема верна для частей, полученных в результате разреза многообразия Хакена, то она верна и для самого многообразия Хакена. Ключевым моментом здесь является то, что разрез производится по поверхности, которая была достаточно "хорошей", то есть несжимаемой. Это делает доказательство индуктивного шага осуществимым во многих случаях. Хакен наметил доказательство алгоритма для проверки, гомеоморфны ли два многообразия Хакена. Этот набросок был существенно дополнен работами Фридхельма Вальдхаузена, Клауса Йоханссона, Джеффри Хемиона, Сергея Матвеева и других. Поскольку существует алгоритм для проверки, является ли трехмерное многообразие многообразием Хакена (см. Jaco–Oertel), основная задача распознавания трехмерных многообразий можно считать решенной для многообразий Хакена. Доказано, что замкнутые многообразия Хакена топологически жесткие: грубо говоря, любая гомотопическая эквивалентность многообразий Хакена гомотопична гомеоморфизму (в случае с границей требуется условие на периферийную структуру). Таким образом, эти трехмерные многообразия полностью определяются своей фундаментальной группой. Кроме того, Вальдхаузен доказал, что фундаментальные группы многообразий Хакена имеют разрешимую проблему слов; это также верно для практически Хакеновых многообразий. Иерархия сыграла решающую роль в теореме Уильяма Терстона о гиперболизации многообразий Хакена, являющейся частью его революционной программы геометризации трехмерных многообразий. Доказано, что атораидальные, ананнулярные, гранично-неразложимые трехмерные многообразия Хакена имеют конечные группы классов отображений. Этот результат можно получить из комбинации жесткости Мостоу с теоремой геометризации Терстона.