Введение
Псевдовекторное поле, описывающее локальное вращение континуума вблизи некоторой точки. В механике континуума, вихрь – это псевдовекторное (или осевой вектор) поле, описывающее локальное вращательное движение континуума вблизи некоторой точки (склонность к вращению), как это увидел бы наблюдатель, расположенный в этой точке и движущийся вместе с потоком. Это важная величина в динамической теории жидкостей и предоставляет удобную основу для понимания различных сложных явлений течения, таких как образование и движение вихревых колец. Математически, вихрь является ротором поля скорости потока:
In continuum mechanics, vorticity is a pseudovector (or axial vector) field that describes the local spinning motion of a continuum near some point (the tendency of something to rotate), as would be seen by an observer located at that point and traveling along with the flow. It is an important quantity in the dynamical theory of fluids and provides a convenient framework for understanding a variety of complex flow phenomena, such as the formation and motion of vortex rings. Mathematically, the vorticity is the curl of the flow velocity :
Since vorticity is a axial vector, it can be associated with a second order antisymmetric tensor (the so called vorticity or rotation tensor), which is said to be the dual of The relation between the two quantities, in index notation, are given by
where is the three dimensional Levi Civita tensor. The vorticity tensor is simply the antisymmetric part of the tensor , i. e.,
Поскольку вихрь является осевым вектором, он может быть связан со второй производной антисимметричным тензором (так называемым тензором вихря или тензором вращения), который считается двойственным к нему. Связь между этими двумя величинами в индексной нотации задается выражением:
In continuum mechanics, vorticity is a pseudovector (or axial vector) field that describes the local spinning motion of a continuum near some point (the tendency of something to rotate), as would be seen by an observer located at that point and traveling along with the flow. It is an important quantity in the dynamical theory of fluids and provides a convenient framework for understanding a variety of complex flow phenomena, such as the formation and motion of vortex rings. Mathematically, the vorticity is the curl of the flow velocity :
Since vorticity is a axial vector, it can be associated with a second order antisymmetric tensor (the so called vorticity or rotation tensor), which is said to be the dual of The relation between the two quantities, in index notation, are given by
where is the three dimensional Levi Civita tensor. The vorticity tensor is simply the antisymmetric part of the tensor , i. e.,
где – трехмерный тензор Леви-Чивиты. Тензор вихря – это просто антисимметричная часть тензора , то есть:
In continuum mechanics, vorticity is a pseudovector (or axial vector) field that describes the local spinning motion of a continuum near some point (the tendency of something to rotate), as would be seen by an observer located at that point and traveling along with the flow. It is an important quantity in the dynamical theory of fluids and provides a convenient framework for understanding a variety of complex flow phenomena, such as the formation and motion of vortex rings. Mathematically, the vorticity is the curl of the flow velocity :
Since vorticity is a axial vector, it can be associated with a second order antisymmetric tensor (the so called vorticity or rotation tensor), which is said to be the dual of The relation between the two quantities, in index notation, are given by
where is the three dimensional Levi Civita tensor. The vorticity tensor is simply the antisymmetric part of the tensor , i. e.,
Эволюция
Эволюция поля вихря во времени описывается уравнением вихря, которое можно вывести из уравнений Навье-Стокса. Во многих реальных потоках, где вязкостью можно пренебречь (точнее, в потоках с высоким числом Рейнольдса), поле вихря можно представить в виде совокупности дискретных вихрей, при этом вихрь пренебрежимо мал везде, за исключением небольших областей пространства вокруг осей вихрей. Это справедливо для двухмерного потенциального течения (то есть двухмерного течения без вязкости), в этом случае поле течения можно смоделировать как комплексную функцию на комплексной плоскости. Вихрь полезен для понимания того, как решения для идеального потенциального течения можно возмутить для моделирования реальных течений. В общем случае, наличие вязкости приводит к диффузии вихря от ядра вихря в основное поле течения; этот процесс учитывается диффузионным членом в уравнении переноса вихря.
Виртуальные линии и виртуальные трубки
Вихревая линия или линия вихряности — это линия, касательная в каждой своей точке к локальному вектору вихряности. Вихревые линии определяются соотношением, где — вектор вихряности в декартовых координатах. Вихревая трубка — это поверхность в континууме, образованная всеми вихревыми линиями, проходящими через заданную замкнутую кривую в континууме. "Сила" вихревой трубки (также называемая вихревым потоком) — это интеграл вихряности по поперечному сечению трубки, и она постоянна вдоль всей трубки (поскольку вихряность имеет нулевую дивергенцию). Это следствие теорем Гельмгольца (или, эквивалентно, теоремы циркуляции Кельвина), что в идеальной жидкости "сила" вихревой трубки также постоянна во времени. Вязкие эффекты приводят к потерям на трение и временной зависимости. В трехмерном потоке вихряность (измеряемая объемным интегралом квадрата ее модуля) может усиливаться при растяжении вихревой линии — явление, известное как растяжение вихря. Это явление наблюдается при образовании воронки в сливающейся воде и при формировании торнадо восходящими потоками воздуха.
where is the vorticity vector in Cartesian coordinates. A vortex tube is the surface in the continuum formed by all vortex lines passing through a given (reducible) closed curve in the continuum. The 'strength' of a vortex tube (also called vortex flux) is the integral of the vorticity across a cross section of the tube, and is the same everywhere along the tube (because vorticity has zero divergence). It is a consequence of Helmholtz's theorems (or equivalently, of Kelvin's circulation theorem) that in an inviscid fluid the 'strength' of the vortex tube is also constant with time. Viscous effects introduce frictional losses and time dependence. In a three dimensional flow, vorticity (as measured by the volume integral of the square of its magnitude) can be intensified when a vortex line is extended — a phenomenon known as vortex stretching. This phenomenon occurs in the formation of a bathtub vortex in outflowing water, and the build up of a tornado by rising air currents.
Измеритель вихря вращающегося лопасти
Ротационный вихремер был изобретен русским гидравлическим инженером А. Я. Миловичем (1874–1958). В 1913 году он предложил пробку с четырьмя прикрепленными лопастями в качестве прибора, качественно показывающего величину вертикальной проекции вихря, и продемонстрировал киносъемку движения поплавка на поверхности воды в модели речного изгиба. Ротационные вихремеры часто демонстрируются в учебных фильмах по механике сплошных сред (известные примеры включают фильмы NCFMF «Вихревая структура» и «Основные принципы течения» Института гидравлических исследований Айовы).
Аэронавтика
В аэродинамике распределение подъемной силы по конечному крылу можно приближенно оценить, предполагая, что за каждым поперечным сечением крыла находится полубесконечный концевой вихрь. Затем можно определить интенсивность этих вихрей, используя условие отсутствия наведенного потока сквозь поверхность крыла. Эта процедура называется методом вихревых панелей в вычислительной гидродинамике. Интенсивности вихрей суммируются для определения общей приблизительной циркуляции вокруг крыла. Согласно теореме Кутты — Жуковского, подъемная сила на единицу размаха крыла равна произведению циркуляции, скорости набегающего потока и плотности воздуха.