Шараф ад-Дин ат-Туси: Иранский математик и астроном XIII века

Введение

Иранский математик и астроном

Шараф аль-Дин аль-Музаффар ибн Мухаммад ибн аль-Музаффар аль-Туси (شرف‌الدین مظفر بن محمد بن مظفر توسی; ок. 1135, Тус, Иран – ок. 1213, Иран) — более известный как Шараф аль-Дин аль-Туси или Шараф ад-Дин ат-Туси — был иранским математиком и астрономом эпохи исламского Золотого века (в Средние века).

Биография

Аль-Туси, вероятно, родился в Тусе, Иран. Об его жизни известно немногое, кроме сведений, содержащихся в биографиях других ученых, и того факта, что большинство современных математиков считают его своим предшественником. Около 1165 года он переехал в Дамаск и преподавал там математику. Затем он прожил три года в Алеппо, после чего перебрался в Мосул, где встретил своего самого известного ученика Камала ад-Дина ибн Юнуса (1156–1242). Камаль ад-Дин впоследствии стал учителем другого знаменитого математика из Туса, Насира ад-Дина ат-Туси. По словам Ибн Аби Усаибиа, Шараф ад-Дин был "выдающимся геометром и ученым в области математики, не имевшим себе равных в свое время".

Математика

Аль-Туси приписывают выдвижение идеи функции, однако его подход был недостаточно четким, и решающий шаг алгебры к динамической функции был сделан через 5 веков немецким ученым-эрудитом Готфридом Лейбницем. Шараф аль-Дин использовал метод, который впоследствии стал известен как "метод Руффини-Хорнера", для численного приближения корня кубического уравнения. Он также разработал новый метод определения условий, при которых определенные типы кубических уравнений имеют два, одно или ни одного решения. Для аль-Туси "решение" означало "положительное решение", поскольку возможность рассмотрения нуля или отрицательных чисел как подлинных решений еще не была признана в то время. Указанные уравнения можно записать, используя современную нотацию, в форме , где f(x) – кубический многочлен, в котором коэффициент при старшем члене x³ равен −1, а c – положительное число. Математики того времени разделили потенциально разрешимые случаи этих уравнений на пять различных типов, определяемых знаками остальных коэффициентов f(x). Для каждого из этих пяти типов аль-Туси записал выражение m для точки, в которой функция f(x) достигала своего максимума, и привел геометрическое доказательство того, что f(x) < f(m) для любого положительного x, отличного от m. Затем он заключил, что уравнение будет иметь два решения, если c < f(m), одно решение, если , или ни одного, если f(m) < c. Аль-Туси не указал, каким образом он обнаружил выражения m для максимумов функций f(x). Некоторые исследователи пришли к выводу, что аль-Туси получил эти выражения для максимумов, "систематически" взяв производную функции f(x) и приравняв ее к нулю. Однако этот вывод был оспорен другими, которые отмечают, что аль-Туси нигде не записал выражение для производной, и предлагают другие правдоподобные методы, с помощью которых он мог бы получить эти выражения для максимумов. Величины, которые можно получить из условий аль-Туси для определения числа корней кубических уравнений, вычитая одну сторону этих условий из другой, сегодня называются дискриминантом кубических многочленов, полученных путем вычитания одной стороны соответствующих кубических уравнений из другой. Хотя аль-Туси всегда записывал эти условия в формах c < f(m), , или f(m) < c, а не в соответствующих формах D > 0, , или D < 0, Рошди Рашид тем не менее считает, что его открытие этих условий продемонстрировало понимание важности дискриминанта для исследования решений кубических уравнений. Шараф аль-Дин проанализировал уравнение x³ + d = b⋅x² в форме x² ⋅ (b – x) = d, утверждая, что левая часть должна быть по крайней мере равна d, чтобы уравнение имело решение. Затем он определил максимальное значение этого выражения. Значение, меньшее d, означает отсутствие положительного решения; значение, равное d, соответствует одному решению, а значение, большее d, – двум решениям. Анализ этого уравнения Шараф аль-Дином был значительным достижением в исламской математике, но его работа не получила дальнейшего развития в то время ни в мусульманском, ни в европейском мире. "Трактат об уравнениях" Шарафа аль-Дина аль-Туси был описан Рошди Рашедом как положивший начало алгебраической геометрии. Это подверглось критике со стороны Джеффри Оукса, который утверждает, что Аль-Туси изучал не кривые с помощью уравнений, а уравнения с помощью кривых (как это делал Аль-Хайям до него), и что изучение кривых с помощью уравнений возникло с Декартом в XVII веке.

Al Tusi has been credited with proposing the idea of a function, however his approach being not very explicit, algebra's decisive move to the dynamic function was made 5 centuries after him, by German polymath Gottfried Leibniz. Sharaf al Din used what would later be known as the "Ruffini Horner method" to numerically approximate the root of a cubic equation. He also developed a novel method for determining the conditions under which certain types of cubic equations would have two, one, or no solutions. To al Tusi, "solution" meant "positive solution", since the possibility of zero or negative numbers being considered genuine solutions had yet to be recognised at the time. The equations in question can be written, using modern notation, in the form , where f(x) is a cubic polynomial in which the coefficient of the cubic term x^(3) is −1, and c is positive. The Muslim mathematicians of the time divided the potentially solvable cases of these equations into five different types, determined by the signs of the other coefficients of f(x). For each of these five types, al Tusi wrote down an expression m for the point where the function f(x) attained its maximum, and gave a geometric proof that f(x) < f(m) for any positive x different from m. He then concluded that the equation would have two solutions if c < f(m), one solution if , or none if f(m) < c
Al Tusi gave no indication of how he discovered the expressions m for the maxima of the functions f(x). Some scholars have concluded that al Tusi obtained his expressions for these maxima by "systematically" taking the derivative of the function f(x), and setting it equal to zero. This conclusion has been challenged, however, by others, who point out that al Tusi nowhere wrote down an expression for the derivative, and suggest other plausible methods by which he could have discovered his expressions for the maxima. The quantities which can be obtained from al Tusi's conditions for the numbers of roots of cubic equations by subtracting one side of these conditions from the other is today called the discriminant of the cubic polynomials obtained by subtracting one side of the corresponding cubic equations from the other. Although al Tusi always writes these conditions in the forms c < f(m), , or f(m) < c, rather than the corresponding forms D > 0 , , or D < 0 , Roshdi Rashed nevertheless considers that his discovery of these conditions demonstrated an understanding of the importance of the discriminant for investigating the solutions of cubic equations. Sharaf al Din analyzed the equation x3 + d = b⋅x2 in the form x2 ⋅ (b x) = d, stating that the left hand side must at least equal the value of d for the equation to have a solution. He then determined the maximum value of this expression. A value less than d means no positive solution; a value equal to d corresponds to one solution, while a value greater than d corresponds to two solutions. Sharaf al Din's analysis of this equation was a notable development in Islamic mathematics, but his work was not pursued any further at that time, neither in the Muslim or European world. Sharaf al Din al Tusi's "Treatise on equations" has been described by Roshdi Rashed as inaugurating the beginning of algebraic geometry. This was criticized by Jeffrey Oaks who claims that Al Tusi did not study curves by means of equations, but rather equations by means of curves (just as al Khayyam had done before him) and that the study of curves by means of equations originated with Descartes in the seventeenth century.

Астрономия

Шараф аль-Дин изобрел линейный астролябий, иногда называемый "посохом Туси". Несмотря на простоту изготовления и известность в Аль-Андалусе, он не получил широкого распространения.

Почести

Астероид 7058 Al Ṭūsī, открытый Генри Э. Холтом в обсерватории Паломар в 1990 году, был назван в его честь.