Введение
Нелинейная модификация уравнения Шредингера
The Schrödinger–Newton equation, sometimes referred to as the Newton–Schrödinger or Schrödinger–Poisson equation, is a nonlinear modification of the Schrödinger equation with a Newtonian gravitational potential, where the gravitational potential emerges from the treatment of the wave function as a mass density, including a term that represents interaction of a particle with its own gravitational field. The inclusion of a self interaction term represents a fundamental alteration of quantum mechanics. in connection with self gravitating boson stars. In this context of classical general relativity it appears as the non relativistic limit of either the Klein–Gordon equation or the Dirac equation in a curved space time together with the Einstein field equations. The equation also describes fuzzy dark matter and approximates classical cold dark matter described by the Vlasov–Poisson equation in the limit that the particle mass is large. Later on it was proposed as a model to explain the quantum wave function collapse by Lajos Diósi and Roger Penrose, from whom the name "Schrödinger–Newton equation" originates. In this context, matter has quantum properties, while gravity remains classical even at the fundamental level. The Schrödinger–Newton equation was therefore also suggested as a way to test the necessity of quantum gravity. In a third context, the Schrödinger–Newton equation appears as a Hartree approximation for the mutual gravitational interaction in a system of a large number of particles. In this context, a corresponding equation for the electromagnetic Coulomb interaction was suggested by Philippe Choquard at the 1976 Symposium on Coulomb Systems in Lausanne to describe one component plasmas. Elliott H. Lieb provided the proof for the existence and uniqueness of a stationary ground state and referred to the equation as the Choquard equation.
Уравнение Шредингера — Ньютона, иногда называемое уравнением Ньютона — Шредингера или уравнением Шредингера — Пуассона, является нелинейной модификацией уравнения Шредингера с ньютоновским гравитационным потенциалом, где гравитационный потенциал возникает в результате рассмотрения волновой функции как плотности массы, включая член, представляющий взаимодействие частицы с собственным гравитационным полем. Включение члена самовзаимодействия представляет собой фундаментальное изменение квантовой механики, связанное с самогравитирующими бозонными звездами. В контексте классической общей теории относительности оно представляется нерелятивистским пределом либо уравнения Клейна — Гордона, либо уравнения Дирака в искривлённом пространстве-времени вместе с уравнениями поля Эйнштейна. Уравнение также описывает нечёткую тёмную материю и аппроксимирует классическую холодную тёмную материю, описываемую уравнением Власова — Пуассона в пределе больших масс частиц. Позже оно было предложено Лайошем Диоши и Роджером Пенроузом в качестве модели для объяснения коллапса квантовой волновой функции, от которых и происходит название «уравнение Шредингера — Ньютона». В этом контексте материя обладает квантовыми свойствами, в то время как гравитация остаётся классической даже на фундаментальном уровне. Таким образом, уравнение Шредингера — Ньютона было также предложено как способ проверки необходимости квантовой гравитации. В третьем контексте уравнение Шредингера — Ньютона представляется как приближение Хартри для взаимного гравитационного взаимодействия в системе большого числа частиц. В этом контексте соответствующее уравнение для электромагнитного кулоновского взаимодействия было предложено Филиппом Шокаром на симпозиуме по кулоновским системам в Лозанне в 1976 году для описания однокомпонентных плазм. Эллиотт Х. Либ предоставил доказательство существования и единственности стационарного основного состояния и назвал уравнение уравнением Шокара.
The Schrödinger–Newton equation, sometimes referred to as the Newton–Schrödinger or Schrödinger–Poisson equation, is a nonlinear modification of the Schrödinger equation with a Newtonian gravitational potential, where the gravitational potential emerges from the treatment of the wave function as a mass density, including a term that represents interaction of a particle with its own gravitational field. The inclusion of a self interaction term represents a fundamental alteration of quantum mechanics. in connection with self gravitating boson stars. In this context of classical general relativity it appears as the non relativistic limit of either the Klein–Gordon equation or the Dirac equation in a curved space time together with the Einstein field equations. The equation also describes fuzzy dark matter and approximates classical cold dark matter described by the Vlasov–Poisson equation in the limit that the particle mass is large. Later on it was proposed as a model to explain the quantum wave function collapse by Lajos Diósi and Roger Penrose, from whom the name "Schrödinger–Newton equation" originates. In this context, matter has quantum properties, while gravity remains classical even at the fundamental level. The Schrödinger–Newton equation was therefore also suggested as a way to test the necessity of quantum gravity. In a third context, the Schrödinger–Newton equation appears as a Hartree approximation for the mutual gravitational interaction in a system of a large number of particles. In this context, a corresponding equation for the electromagnetic Coulomb interaction was suggested by Philippe Choquard at the 1976 Symposium on Coulomb Systems in Lausanne to describe one component plasmas. Elliott H. Lieb provided the proof for the existence and uniqueness of a stationary ground state and referred to the equation as the Choquard equation.
Связь с полуклассической и квантовой гравитацией
Уравнение Шрёдингера — Ньютона может быть выведено, исходя из предположения, что гравитация остаётся классической даже на фундаментальном уровне, и что правильным способом связи квантовой материи с гравитацией является использование полуклассических уравнений Эйнштейна. В этом случае к уравнению Шрёдингера добавляется ньютоновский гравитационный потенциал, источником которого является математическое ожидание оператора плотности массы или потока массы. В связи с этим, если гравитация фундаментально классическая, уравнение Шрёдингера — Ньютона является фундаментальным уравнением для одной частицы, которое можно обобщить на случай множества частиц (см. ниже). Если же гравитационное поле квантовано, то фундаментальное уравнение Шрёдингера остаётся линейным. Тогда уравнение Шрёдингера — Ньютона справедливо лишь как приближение для гравитационного взаимодействия в системах, состоящих из большого числа частиц, и не оказывает влияния на центр масс.
Значение последствий
Грубая оценка порядка величины режима, в котором становятся существенными эффекты уравнения Шрёдингера — Ньютона, может быть получена с помощью довольно простых рассуждений. Показано, что это уравнение даёт достаточно точную оценку диапазона масс, выше которого эффекты уравнения Шрёдингера — Ньютона становятся значимыми. Для атома критическая ширина составляет около 10<sup>22</sup> метров, в то время как для массы в один микрограмм она уже снижается до 10<sup>-31</sup> метров. Ожидается, что режим, в котором масса составляет около 10<sup>10</sup> атомных единиц массы, а ширина порядка микрометров, позволит в будущем экспериментально проверить уравнение Шрёдингера — Ньютона. Возможными кандидатами являются интерферометрические эксперименты с тяжёлыми молекулами, которые в настоящее время достигают масс до 10 000 атомных единиц массы.
Квантовая волновая функция коллапса
Идея о том, что гравитация вызывает (или каким-то образом влияет) на коллапс волновой функции, восходит к 1960-м годам и была первоначально предложена Каролихази. Уравнение Шрёдингера — Ньютона было предложено в этом контексте Диоши, в связи с аналогичным мысленным экспериментом, предложенным Эппли и Ханной.