Введение
Выражение, которое вычисляется как скаляр, инвариантный относительно любого преобразования Лоренца в физике.
В релятивистской физической теории, лоренцев скаляр – это выражение, составленное из элементов теории, которое вычисляется как скаляр, инвариантный относительно любого преобразования Лоренца. Лоренцев скаляр может быть получен, например, из скалярного произведения векторов или из свертки тензоров теории. В то время как компоненты векторов и тензоров обычно изменяются при преобразованиях Лоренца, лоренцевы скаляры остаются неизменными. Лоренцев скаляр не всегда очевиден как инвариантный скаляр в математическом смысле, но результирующее скалярное значение инвариантно относительно любого преобразования базиса, применяемого к векторному пространству, на котором базируется рассматриваемая теория. Простым лоренцевым скаляром в пространстве Минковского является пространственно-временной интервал ("длина" разности) двух фиксированных событий в пространстве-времени. В то время как "координатные" 4-векторы событий изменяются в разных инерциальных системах отсчета, их пространственно-временной интервал остается инвариантным при соответствующем преобразовании Лоренца. Другими примерами лоренцевых скаляров являются "длина" 4-скоростей (см. ниже) или кривизна Риччи в точке пространства-времени из общей теории относительности, которая является сжатием тензора кривизны Римана в этой точке.
In a relativistic theory of physics, a Lorentz scalar is an expression, formed from items of the theory, which evaluates to a scalar, invariant under any Lorentz transformation. A Lorentz scalar may be generated from e. g., the scalar product of vectors, or from contracting tensors of the theory. While the components of vectors and tensors are in general altered under Lorentz transformations, Lorentz scalars remain unchanged. A Lorentz scalar is not always immediately seen to be an invariant scalar in the mathematical sense, but the resulting scalar value is invariant under any basis transformation applied to the vector space, on which the considered theory is based. A simple Lorentz scalar in Minkowski spacetime is the spacetime distance ("length" of their difference) of two fixed events in spacetime. While the "position" 4 vectors of the events change between different inertial frames, their spacetime distance remains invariant under the corresponding Lorentz transformation. Other examples of Lorentz scalars are the "length" of 4 velocities (see below), or the Ricci curvature in a point in spacetime from general relativity, which is a contraction of the Riemann curvature tensor there.
Энергия частицы
Рассмотрим вторую частицу с 4-скоростью и 3-скоростью. В системе покоя второй частицы внутреннее произведение с пропорционально энергии первой частицы, где индекс 1 относится к первой частице. Поскольку это соотношение верно в системе покоя второй частицы, оно верно в любой системе отсчета. , энергия первой частицы в системе отсчета второй частицы, является лоренц-инвариантом. Следовательно, в любой инерциальной системе отсчета, где остается энергией первой частицы в системе отсчета второй частицы.
where the subscript 1 indicates the first particle. Since the relationship is true in the rest frame of the second particle, it is true in any reference frame. , the energy of the first particle in the frame of the second particle, is a Lorentz scalar. Therefore,
in any inertial reference frame, where is still the energy of the first particle in the frame of the second particle.
Более сложные скалы
Скаляры также могут быть получены из тензоров и векторов, посредством свёртки тензоров (например, ), или комбинаций свёрток тензоров и векторов (например, ).