Введение

Уравнения распространения и отражения света – уравнения Френеля, описывающие отражение и преломление света на однородных плоских границах раздела сред.

Уравнения Френеля (или коэффициенты Френеля) описывают отражение и прохождение света (или электромагнитного излучения в целом) при падении на границу раздела между различными оптическими средами. Они были выведены французским инженером и физиком Огюстеном Жаном Френелем (/f//r//eɪ/'/n//ɛ//l/), который первым осознал, что свет является поперечной волной, в то время как природа волн как электрических и магнитных полей еще не была понята. Впервые поляризацию удалось понять количественно, поскольку уравнения Френеля верно предсказывали различное поведение s- и p-поляризованных волн при падении на границу раздела материалов.

Обзор

Когда свет падает на границу раздела между средой с показателем преломления n1 и второй средой с показателем преломления n2, могут происходить как отражение, так и преломление света. Уравнения Френеля определяют отношение амплитуды электрического поля отраженной волны к амплитуде электрического поля падающей волны, а также отношение амплитуды электрического поля прошедшей волны к амплитуде электрического поля падающей волны для каждой из двух составляющих поляризации. (Магнитные поля также могут быть связаны с помощью аналогичных коэффициентов.) Эти отношения обычно являются комплексными, описывая не только относительные амплитуды, но и фазовые сдвиги на границе раздела. Уравнения предполагают, что граница раздела между средами плоская, а сами среды однородны и изотропны. Падающий свет предполагается плоской волной, что достаточно для решения любой задачи, поскольку любое падающее световое поле можно разложить на плоские волны и поляризации.

S и P поляризации

Существует два набора коэффициентов Френеля, соответствующих двум различным линейным компонентам поляризации падающей волны. Поскольку любое состояние поляризации можно разложить на комбинацию двух ортогональных линейных поляризаций, этого достаточно для решения любой задачи. Аналогично, неполяризованный (или "случайно поляризованный") свет содержит одинаковую мощность в каждой из двух линейных поляризаций. S-поляризация относится к поляризации электрического поля волны, нормальной к плоскости падения (направление z в выводе ниже); в этом случае магнитное поле лежит в плоскости падения. P-поляризация относится к поляризации электрического поля, лежащей в плоскости падения (плоскость xy в выводе ниже); в этом случае магнитное поле нормально к плоскости падения. Хотя отражение и прохождение зависят от поляризации, при нормальном падении (θ = 0) различий между ними нет, поэтому все состояния поляризации описываются одним набором коэффициентов Френеля (и еще один особый случай, когда это также верно, упоминается ниже).

Нормальная частота

Для случая нормального падения, и нет различия между s- и p-поляризациями. Таким образом, коэффициент отражения упрощается до

Для обычного стекла (n2 ≈ 1.5), окруженного воздухом (n1 = 1), можно увидеть, что коэффициент отражения мощности при нормальном падении составляет около 4%, или 8%, если учитывать обе стороны стеклянной пластины.

Угол Брюстера

На диэлектрическом интерфейсе между средами с показателями преломления n1 и n2 существует определенный угол падения, при котором коэффициент отражения для p-поляризации (Rp) стремится к нулю, и p-поляризованная падающая волна полностью преломляется, в результате чего весь отраженный свет становится s-поляризованным. Этот угол известен как угол Брюстера и составляет приблизительно 56° для n1 = 1 и n2 = 1,5 (типичное стекло).

Общее внутреннее отражение

Когда свет, распространяющийся в более плотной среде, падает на поверхность менее плотной среды (т.е. n1 > n2), при углах падения, превышающих определенный критический угол, весь свет отражается, и коэффициенты отражения для s- и p-поляризаций равны единице (Rs = Rp = 1). Это явление, известное как полное внутреннее отражение, возникает при углах падения, для которых закон Снелла предсказывает, что синус угла преломления будет больше единицы (что невозможно для всех реальных углов θ). Для стекла с показателем преломления n = 1,5, окруженного воздухом, критический угол составляет приблизительно 42°.

45° частота

Отражение при угле падения 45° очень часто используется для разворота луча на 90°. Для случая прохождения света из менее плотной среды в более плотную при угле падения 45° (θ₁ = 45°), из вышеприведенных уравнений алгебраически следует, что Rp равно квадрату Rs:

Это можно использовать для проверки согласованности измерений Rs и Rp или для определения одного из них, если известен другой. Это соотношение справедливо только для простого случая плоской границы раздела между двумя однородными материалами и не применимо к пленкам на подложках, где требуется более сложный анализ. Измерения Rs и Rp при 45° могут быть использованы для оценки коэффициента отражения при нормальном падении. "Среднее от средних", полученное путем вычисления сначала арифметического и геометрического среднего Rs и Rp, а затем повторного вычисления среднего значения этих двух средних арифметическим способом, дает значение R₀ с погрешностью менее 3% для большинства распространенных оптических материалов. Это полезно, поскольку измерения при нормальном падении могут быть сложны в реализации в экспериментальной установке из-за взаимного перекрытия входящего луча и детектора. Однако, поскольку зависимость Rs и Rp от угла падения для углов менее 10° незначительна, измерение при угле около 5° обычно является хорошим приближением для нормального падения, обеспечивая при этом разделение входящего и отраженного лучей.

Многослойные поверхности

Когда свет испытывает множественные отражения между двумя или более параллельными поверхностями, многочисленные световые пучки обычно интерферируют друг с другом, что приводит к результирующим амплитудам прохождения и отражения, зависящим от длины волны света. Однако интерференция наблюдается только тогда, когда расстояния между поверхностями сопоставимы или меньше длины когерентности света, которая для обычного белого света составляет всего несколько микрометров, но может быть значительно больше для света лазера. Примером интерференции отраженных лучей являются переливчатые цвета, видимые в мыльных пузырях или тонких масляных пленках на воде. Области применения включают интерферометры Фабри-Перо, антиотражающие покрытия и оптические фильтры. Количественный анализ этих эффектов основан на уравнениях Френеля, дополненных расчетами, учитывающими интерференцию. Для решения задач с множеством поверхностей можно использовать метод матрицы переноса или рекурсивный метод Руара.

Вывод

Здесь мы систематически выводим вышеуказанные соотношения из электромагнитных принципов.

Параметры материала

Для того, чтобы рассчитать значимые коэффициенты Френеля, мы должны предположить, что среда (приблизительно) линейна и однородна. Если среда также изотропна, четыре вектора поля связаны соотношением, где ϵ и μ – скаляры, известные как (электрическая) проницаемость и (магнитная) проницаемость среды, соответственно. Для вакуума они принимают значения ϵ0 и μ0, соответственно. Следовательно, мы определяем относительную диэлектрическую проницаемость (или диэлектрическую постоянную) и относительную магнитную проницаемость. В оптике обычно предполагается, что среда немагнитна, поэтому 1 = μrel = 1. Для ферромагнитных материалов на радио- и микроволновых частотах необходимо учитывать большие значения μrel. Однако для оптически прозрачных сред и для всех остальных материалов на оптических частотах (за исключением, возможно, метаматериалов) μrel действительно очень близка к 1, то есть μ ≈ μ0. В оптике обычно известен показатель преломления n среды, который представляет собой отношение скорости света в вакууме (c) к скорости света в среде. При анализе частичного отражения и передачи также представляет интерес импеданс электромагнитной волны Z, который является отношением амплитуды 'E' к амплитуде 'H'. Поэтому желательно выразить n и Z через ϵ и μ, а затем связать Z с n. Однако последнее соотношение позволит удобно вывести коэффициенты отражения через впускную способность волны Y, которая является обратной величиной импеданса волны Z. В случае равномерных плоских синусоидальных волн импеданс или впускная способность волны известны как внутренний импеданс или впускная способность среды. Это тот случай, для которого и должны быть выведены коэффициенты Френеля.

Равные показатели преломления

Из уравнений и мы видим, что две различные среды будут иметь одинаковый показатель преломления, но разные приведенные импедансы, если отношение их магнитной проницаемости является обратным отношению их диэлектрической проницаемости. В этой необычной ситуации мы имеем (то есть, проходящий луч не отклоняется), так что косинусы в уравнениях , , , и аннулируются, и все коэффициенты отражения и прохождения становятся независимыми от угла падения; другими словами, коэффициенты для нормального падения становятся применимыми ко всем углам падения. При расширении на сферическое отражение или рассеяние, это приводит к эффекту Керкера при рассеянии Ми.