Колебательная динамическая система с нелинейным затуханием
Van der Pol oscillator
Колебательная система Ван дер Поля: нелинейный осциллятор с затуханием. Изучение динамических систем, релаксационные колебания, предельные циклы и их применение.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Осциллирующая динамическая система с нелинейным затуханием
Oscillating dynamical system with nonlinear damping
В изучении динамических систем осциллятор Ван дер Поля (названный в честь голландского физика Балтасара ван дер Поля) представляет собой неконсервативную, осциллирующую систему с нелинейным затуханием. Его эволюция во времени описывается дифференциальным уравнением второго порядка
In the study of dynamical systems, the van der Pol oscillator (named for Dutch physicist Balthasar van der Pol) is a non conservative, oscillating system with non linear damping. It evolves in time according to the second order differential equation
где x — координата положения, являющаяся функцией времени t, а μ — скалярный параметр, определяющий степень нелинейности и интенсивность затухания.
where x is the position coordinate—which is a function of the time t—and μ is a scalar parameter indicating the nonlinearity and the strength of the damping.
История
Ван-дер-Полевский осциллятор был первоначально предложен голландским инженером-электриком и физиком Бальтазаром ван дер Полем во время работы в компании Philips. Ван дер Поль обнаружил стабильные колебания, которые он впоследствии назвал релаксационными, а сейчас они известны как тип предельного цикла, в электрических схемах с вакуумными лампами. Когда эти схемы подвергаются воздействию вблизи предельного цикла, они синхронизируются, то есть воздействующий сигнал увлекает за собой ток. Ван дер Поль и его коллега, ван дер Марк, сообщили в сентябрьском выпуске журнала Nature за 1927 год, что на определенных частотах воздействия был слышен нерегулярный шум, который впоследствии был установлен как результат детерминированного хаоса. Уравнение Ван дер Поля имеет долгую историю применения как в физических, так и в биологических науках. Например, в биологии Фитцху и Нагумо расширили это уравнение в двумерном пространстве для моделирования потенциалов действия нейронов. Уравнение также использовалось в сейсмологии для моделирования двух плит в геологическом разломе и в исследованиях фонации для моделирования колебателей правой и левой голосовых складок.
The Van der Pol oscillator was originally proposed by the Dutch electrical engineer and physicist Balthasar van der Pol while he was working at Philips. Van der Pol found stable oscillations, which he subsequently called relaxation oscillations and are now known as a type of limit cycle, in electrical circuits employing vacuum tubes. When these circuits are driven near the limit cycle, they become entrained, i. e. the driving signal pulls the current along with it. Van der Pol and his colleague, van der Mark, reported in the September 1927 issue of Nature that at certain drive frequencies an irregular noise was heard, which was later found to be the result of deterministic chaos. The Van der Pol equation has a long history of being used in both the physical and biological sciences. For instance, in biology, Fitzhugh and Nagumo extended the equation in a planar field as a model for action potentials of neurons. The equation has also been utilised in seismology to model the two plates in a geological fault, and in studies of phonation to model the right and left vocal fold oscillators.
Бифуркация Хопфа
По мере того, как μ меняется от значений меньше нуля к значениям больше нуля, спиральная точка притяжения в начале координат превращается в спиральную точку отталкивания, и предельный цикл внезапно появляется с радиусом два. Это происходит потому, что переход не является общим: когда 1=ε = 0, как дифференциальное уравнение становится линейным, так и начало координат превращается в круговой узел. Зная, что в бифуркации Хопфа предельный цикл должен иметь размер, мы можем попытаться преобразовать это в бифуркацию Хопфа, используя замену переменных, которая дает. Действительно, это бифуркация Хопфа.
As μ moves from less than zero to more than zero, the spiral sink at origin becomes a spiral source, and a limit cycle appears "out of the blue" with radius two. This is because the transition is not generic: when 1=ε = 0, both the differential equation becomes linear, and the origin becomes a circular node. Knowing that in a Hopf bifurcation, the limit cycle should have size we may attempt to convert this to a Hopf bifurcation by using the change of variables which givesThis indeed is a Hopf bifurcation.
Квантовый осциллятор
Квантовый осциллятор ван дер Поля, являющийся квантовомеханической версией классического осциллятора ван дер Поля, был предложен с использованием уравнения Линдблада для изучения его квантовой динамики и квантовой синхронизации. Следует отметить, что вышеуказанный гамильтонов подход с вспомогательным уравнением второго порядка приводит к неограниченным траекториям фазового пространства и, следовательно, не может быть использован для квантования осциллятора ван дер Поля. В пределе слабой нелинейности (т.е. μ→0) осциллятор ван дер Поля сводится к уравнению Стюарта — Ландау. Уравнение Стюарта — Ландау фактически описывает целый класс осцилляторов с предельным циклом в слабо нелинейном пределе. Форма классического уравнения Стюарта — Ландау намного проще и, возможно, неудивительно, может быть квантована уравнением Линдблада, которое также проще, чем уравнение Линдблада для осциллятора ван дер Поля. Квантовая модель Стюарта — Ландау сыграла важную роль в изучении квантовой синхронизации (где она часто называлась осциллятором ван дер Поля, хотя ее нельзя однозначно связать с осциллятором ван дер Поля). Связь между классической моделью Стюарта — Ландау (μ→0) и более общими осцилляторами с предельным циклом (произвольные μ) также была продемонстрирована численно в соответствующих квантовых моделях. Цепь содержит: триод, резистор R, конденсатор C, набор связанных индуктивностей с собственной индуктивностью L и взаимной индуктивностью M. В последовательной RLC-цепи протекает ток i, к аноду ("пластине") триода направлен ток ia, а на управляющей сетке триода имеется напряжение ug. Осциллятор ван дер Поля возбуждается источником переменного напряжения Es. Автор Джеймс Глейк описал вакуумный осциллятор ван дер Поля в своей книге 1987 года «Хаос: создание новой науки». Согласно статье в New York Times, Глейк получил современный электронный осциллятор ван дер Поля от читателя в 1988 году.
The quantum van der Pol oscillator, which is the quantum mechanics version of the classical van der Pol oscillator, has been proposed using a Lindblad equation to study its quantum dynamics and quantum synchronization. Note the above Hamiltonian approach with an auxiliary second order equation produces unbounded phase space trajectories and hence cannot be used to quantize the van der Pol oscillator. In the limit of weak nonlinearity (i. e. μ→0) the van der Pol oscillator reduces to the Stuart–Landau equation. The Stuart–Landau equation in fact describes an entire class of limit cycle oscillators in the weakly nonlinear limit. The form of the classical Stuart–Landau equation is much simpler, and perhaps not surprisingly, can be quantized by a Lindblad equation which is also simpler than the Lindblad equation for the van der Pol oscillator. The quantum Stuart–Landau model has played an important role in the study of quantum synchronisation (where it has often been called a van der Pol oscillator although it cannot be uniquely associated with the van der Pol oscillator). The relationship between the classical Stuart–Landau model (μ→0) and more general limit cycle oscillators (arbitrary μ) has also been demonstrated numerically in the corresponding quantum models. The circuit contains: a triode, a resistor R, a capacitor C, a coupled inductor set with self inductance L and mutual inductance M. In the serial RLC circuit there is a current i, and towards the triode anode ("plate") a current ia, while there is a voltage ug on the triode control grid. The Van der Pol oscillator is forced by an AC voltage source Es.]] Author James Gleick described a vacuum tube Van der Pol oscillator in his book from 1987 Chaos: Making a New Science. According to a New York Times article, Gleick received a modern electronic Van der Pol oscillator from a reader in 1988.