Введение

Моделирование состояний динамической системы как бесконечных последовательностей символов. В математике символическая динамика — это подход к моделированию топологической или гладкой динамической системы дискретным пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы, а динамика (эволюция) описывается оператором сдвига. Формально, для этого используется разбиение Маркова, обеспечивающее конечное покрытие гладкой системы; каждому множеству покрытия сопоставляется один символ, и последовательности символов получаются по мере того, как траектория системы переходит из одного множества покрытия в другое.

История

Идея восходит к работе Жака Адамара 1898 года о геодезических на поверхностях с отрицательной кривизной. Марстон Морз применил её в 1921 году для построения непериодической рекуррентной геодезической. Связанные работы были выполнены Эмилем Артином в 1924 году (для системы, ныне известной как бильярд Артина), Пеккой Мирбергом, Полом Коэбом, Якобом Нильсеном и Г. А. Хедлундом. Первое формальное изложение было разработано Морсом и Хедлундом в их статье 1938 года. Джордж Бирхофф, Норман Левинсон, а также Мэри Картрайт и Дж. Э. Литтлвуд применили схожие методы к качественному анализу неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка. Клод Шеннон использовал символические последовательности и сдвиги конечного типа в своей работе 1948 года «Математическая теория связи», которая положила начало теории информации. В конце 1960-х годов Рой Адлер и Бенджамин Вайс развили метод символической динамики для гиперболических торальных автоморфизмов, а Яков Синай – для диффеоморфизмов Аносова, используя символическую модель для построения мер Гиббса. В начале 1970-х годов теория была расширена на потоки Аносова Мариной Ратнер и на диффеоморфизмы и потоки аксиомы А Руфусом Боуэном. Ярким применением методов символической динамики является теорема Шарковского о периодических орбитах непрерывного отображения интервала в себя (1964).

Примеры

Такие понятия, как гетероклинические и гомоклинические орбиты, имеют особенно простое представление в символической динамике.

Маршрут

Траектория точки относительно раздела представляет собой последовательность символов. Она описывает динамику точки.

Приложения

Символическая динамика возникла как метод изучения общих динамических систем, но теперь её методы и идеи нашли значительное применение в хранении и передаче данных, линейной алгебре, движении планет и многих других областях. Характерной особенностью символической динамики является измерение времени дискретными интервалами. Таким образом, в каждый временной интервал система находится в определенном состоянии. Каждому состоянию сопоставляется символ, а эволюция системы описывается бесконечной последовательностью символов, эффективно представляемой в виде строк. Если состояния системы изначально не дискретны, то вектор состояния необходимо дискретизировать для получения приближенного, грубого описания системы.