Введение
Заявление о гравитационном притяжении сферических тел
В классической механике теорема о сферической оболочке дает гравитационные упрощения, которые могут быть применены к объектам внутри или снаружи сферически симметричного тела. Эта теорема имеет особое применение в астрономии. Исаак Ньютон доказал теорему о сферической оболочке и утверждал, что:
Сферически симметричное тело гравитационно воздействует на внешние объекты так, как если бы вся его масса была сосредоточена в точке в его центре. Если тело является сферически симметричной оболочкой (то есть, полым шаром), то результирующая гравитационная сила, действующая оболочкой на любой объект внутри, равна нулю, независимо от местоположения объекта внутри оболочки. Следствием этого является то, что внутри твердой сферы постоянной плотности гравитационная сила внутри объекта изменяется линейно с расстоянием от центра, становясь равной нулю по симметрии в центре масс. Это можно увидеть следующим образом: рассмотрим точку внутри такой сферы на расстоянии от центра сферы. Тогда, согласно теореме о сферической оболочке (2), можно игнорировать все оболочки с большим радиусом. Но эту точку можно считать внешней по отношению к оставшейся сфере радиуса r, и согласно (1) вся масса этой сферы может считаться сконцентрированной в ее центре. Оставшаяся масса пропорциональна (поскольку она основана на объеме). Гравитационная сила, действующая на тело в радиусе r, будет пропорциональна (закону обратных квадратов), поэтому общее гравитационное воздействие пропорционально , а значит, линейно зависит от .
Эти результаты были важны для анализа планетарного движения, проведенного Ньютоном; они не очевидны, но могут быть доказаны с помощью математического анализа. (Закон Гаусса для гравитации предлагает альтернативный способ формулировки теоремы.) Помимо гравитации, теорема о сферической оболочке также может быть использована для описания электрического поля, создаваемого статической сферически симметричной плотностью заряда, или аналогично для любого другого явления, подчиняющегося закону обратных квадратов. Приведенные ниже выводы сосредоточены на гравитации, но результаты могут быть легко обобщены на электростатическую силу.
In classical mechanics, the shell theorem gives gravitational simplifications that can be applied to objects inside or outside a spherically symmetrical body. This theorem has particular application to astronomy. Isaac Newton proved the shell theorem and stated that:
A spherically symmetric body affects external objects gravitationally as though all of its mass were concentrated at a point at its center. If the body is a spherically symmetric shell (i. e., a hollow ball), no net gravitational force is exerted by the shell on any object inside, regardless of the object's location within the shell. A corollary is that inside a solid sphere of constant density, the gravitational force within the object varies linearly with distance from the center, becoming zero by symmetry at the center of mass. This can be seen as follows: take a point within such a sphere, at a distance from the center of the sphere. Then you can ignore all of the shells of greater radius, according to the shell theorem (2). But the point can be considered to be external to the remaining sphere of radius r, and according to (1) all of the mass of this sphere can be considered to be concentrated at its centre. The remaining mass is proportional to (because it is based on volume). The gravitational force exerted on a body at radius r will be proportional to (the inverse square law), so the overall gravitational effect is proportional to , so is linear in
These results were important to Newton's analysis of planetary motion; they are not immediately obvious, but they can be proven with calculus. (Gauss's law for gravity offers an alternative way to state the theorem.) In addition to gravity, the shell theorem can also be used to describe the electric field generated by a static spherically symmetric charge density, or similarly for any other phenomenon that follows an inverse square law. The derivations below focus on gravity, but the results can easily be generalized to the electrostatic force.
Введение
Предложения 70 и 71 рассматривают силу, действующую на частицу со стороны полой сферы с бесконечно тонкой поверхностью, плотность массы которой постоянна по всей поверхности. Сила, действующая на частицу от малой площади поверхности сферы, пропорциональна массе этой площади и обратно пропорциональна квадрату расстояния от нее до частицы. В первом предложении рассматривается случай, когда частица находится внутри сферы, во втором – когда она находится снаружи. Использование бесконечно малых величин и предельных переходов в геометрических построениях просто и элегантно и позволяет избежать необходимости в интегрировании. Они хорошо иллюстрируют метод Ньютона, используемый для доказательства многих предложений в «Математических началах натуральной философии» («Principia»). Его доказательство предложения 70 тривиально. Далее оно рассматривается несколько подробнее, чем у Ньютона. Доказательство предложения 71 имеет большее историческое значение. Оно составляет первую часть его доказательства того, что гравитационная сила твердой сферы, действующая на частицу вне ее, обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра сферы, при условии, что плотность в любой точке внутри сферы является функцией только ее расстояния от центра. Хотя представленные ниже доказательства полностью соответствуют доказательствам Ньютона, в них внесены незначительные изменения с целью повышения ясности.
Сила на точку внутри покрытой сферы
Фиг. 2 – сечение полой сферы через центр, S, и произвольную точку, P, внутри сферы. Через точку P проведите две линии IL и HK так, чтобы угол KPL был очень мал. JM – линия, проходящая через P и делящая этот угол пополам. Согласно теореме о вписанном угле, треугольники IPH и KPL подобны. Линии KH и IL вращаются вокруг оси JM, образуя два конуса, которые пересекают сферу в двух замкнутых кривых. На фиг. 1 сфера видна с расстояния вдоль прямой PE и считается прозрачной, чтобы можно было видеть обе кривые. Поверхность сферы, которую пересекают конусы, можно считать плоской, и поскольку пересечение конуса с плоскостью является эллипсом, в данном случае пересечения образуют два эллипса с большими осями IH и KL, где по аналогичному аргументу малые оси находятся в том же соотношении. Это становится очевидным, если смотреть на сферу сверху. Следовательно, два эллипса подобны, и их площади относятся как квадраты их больших осей. Поскольку масса любого участка поверхности пропорциональна площади этого участка, для двух эллиптических участков отношение их масс равно. Поскольку сила притяжения на P в направлении JM от любого из эллиптических участков прямо пропорциональна массе участка и обратно пропорциональна квадрату его расстояния от P, она не зависит от расстояния P от сферы. Следовательно, силы, действующие на P от двух бесконечно малых эллиптических площадей, равны и противоположны по направлению, и результирующая сила в направлении JM равна нулю. Поскольку положение P и направление JM произвольны, следует, что любая частица внутри полой сферы не испытывает результирующей силы со стороны массы сферы. Примечание: Ньютон просто описывает дуги IH и KL как «минимально малые», а области, очерченные линиями IL и HK, могут иметь любую форму, не обязательно эллиптическую, но они всегда будут подобны.
Since the intersection of a cone with a plane is an ellipse, in this case the intersections form two ellipses with major axes IH and KL, where
By a similar argument, the minor axes are in the same ratio. This is clear if the sphere is viewed from above. Therefore the two ellipses are similar, so their areas are as the squares of their major axes. As the mass of any section of the surface is proportional to the area of that section, for the two elliptical areas the ratios of their masses
Since the force of attraction on P in the direction JM from either of the elliptic areas, is direct as the mass of the area and inversely as the square of its distance from P, it is independent of the distance of P from the sphere. Hence, the forces on P from the two infinitesimal elliptical areas are equal and opposite and there is no net force in the direction JM. As the position of P and the direction of JM are both arbitrary, it follows that any particle inside a hollow sphere experiences no net force from the mass of the sphere. Note: Newton simply describes the arcs IH and KL as 'minimally small' and the areas traced out by the lines IL and HK can be any shape, not necessarily elliptic, but they will always be similar.
Теорема оболочки в общей теории относительности
Аналог теоремы о оболочке существует в общей теории относительности (GR). Сферическая симметрия означает, что метрика имеет геометрию Шварцшильда, не зависящую от времени, даже если центральная масса подвергается гравитационному коллапсу (Misner et al. 1973; см. теорему Бирхоффа). Таким образом, метрика имеет вид (используя геометризованные единицы, где ). При (где – радиус некоторой массовой оболочки), масса проявляется как дельта-функция в начале координат. При , внешне могут существовать оболочки массы, но для того, чтобы метрика не имела сингулярности в начале координат, она должна быть равна нулю в метрике. Это приводит метрику к плоскому пространству Минковского; следовательно, внешние оболочки не оказывают гравитационного воздействия. Этот результат проливает свет на гравитационный коллапс, приводящий к образованию чёрной дыры, и его влияние на движение лучей света и частиц за пределами и внутри горизонта событий (Hartle 2003, глава 12).
(using geometrized units, where ). For (where is the radius of some mass shell), mass acts as a delta function at the origin. For , shells of mass may exist externally, but for the metric to be non singular at the origin, must be zero in the metric. This reduces the metric to flat Minkowski space; thus external shells have no gravitational effect. This result illuminates the gravitational collapse leading to a black hole and its effect on the motion of light rays and particles outside and inside the event horizon (Hartle 2003, chapter 12).