Реконструкция квантовых состояний на основе измерений

Введение

Квантовая томография или томография квантового состояния — это процесс, посредством которого квантовое состояние реконструируется с использованием измерений на ансамбле идентичных квантовых состояний. Источником этих состояний может быть любое устройство или система, которая подготавливает квантовые состояния либо последовательно в квантово чистые состояния, либо в общие смешанные состояния. Для того чтобы однозначно идентифицировать состояние, измерения должны быть томографически полными. То есть, измеренные операторы должны образовывать базис операторов в гильбертовом пространстве системы, предоставляя всю информацию о состоянии. Такой набор наблюдений иногда называют кворумом. Термин «томография» впервые был использован в литературе по квантовой физике в статье 1993 года, представляющей экспериментальную оптическую гомодинную томографию. В квантовой томографии процессов, напротив, известные квантовые состояния используются для зондирования квантового процесса с целью выяснить, как этот процесс можно описать. Аналогично, квантовая измерительная томография направлена на определение выполняемого измерения. В то время как рандомизированное бенчмаркирование масштабируемо определяет меру перекрытия между подверженным ошибкам физическим квантовым процессом и его идеальным аналогом. Общий принцип квантовой томографии заключается в том, что путем многократного выполнения различных измерений на квантовых системах, описываемых идентичными матрицами плотности, подсчет частоты можно использовать для вывода вероятностей, которые затем объединяются с правилом Борна для определения матрицы плотности, наилучшим образом соответствующей наблюдениям. Это можно легко понять, проведя классическую аналогию. Рассмотрим гармонический осциллятор (например, маятник). Положение и импульс осциллятора в любой данный момент времени могут быть измерены, и, следовательно, движение может быть полностью описано фазовым пространством. Это показано на рисунке 1. Выполняя это измерение для большого числа идентичных осцилляторов, мы получаем распределение вероятностей в фазовом пространстве (рисунок 2). Это распределение может быть нормализовано (осциллятор в данный момент времени должен находиться где-то), и распределение должно быть неотрицательным. Таким образом, мы получаем функцию, которая описывает вероятность обнаружения частицы в данной точке с заданным импульсом. То же самое можно сделать и с квантово-механическими частицами. Единственное отличие состоит в том, что принцип неопределенности Гейзенберга не должен быть нарушен, что означает, что мы не можем одновременно измерять импульс и положение частицы. Импульс и положение частицы называются квадратурами (см. «Оптическое фазовое пространство» для получения дополнительной информации) в квантовых состояниях. Измерение одной из квадратур большого числа идентичных квантовых состояний даст нам плотность вероятности, соответствующую этой конкретной квадратуре. Это называется предельное распределение (см. рисунок 3). В дальнейшем тексте мы увидим, что эта плотность вероятности необходима для характеристики квантового состояния частицы, что и является основной целью квантовой томографии.

Quantum tomography or quantum state tomography is the process by which a quantum state is reconstructed using measurements on an ensemble of identical quantum states. The source of these states may be any device or system which prepares quantum states either consistently into quantum pure states or otherwise into general mixed states. To be able to uniquely identify the state, the measurements must be tomographically complete. That is, the measured operators must form an operator basis on the Hilbert space of the system, providing all the information about the state. Such a set of observations is sometimes called a quorum. The term tomography was first used in the quantum physics literature in a 1993 paper introducing experimental optical homodyne tomography. In quantum process tomography on the other hand, known quantum states are used to probe a quantum process to find out how the process can be described. Similarly, quantum measurement tomography works to find out what measurement is being performed. Whereas, randomized benchmarking scalably obtains a figure of merit of the overlap between the error prone physical quantum process and its ideal counterpart. The general principle behind quantum state tomography is that by repeatedly performing many different measurements on quantum systems described by identical density matrices, frequency counts can be used to infer probabilities, and these probabilities are combined with Born's rule to determine a density matrix which fits the best with the observations. This can be easily understood by making a classical analogy. Consider a harmonic oscillator (e. g. a pendulum). The position and momentum of the oscillator at any given point can be measured and therefore the motion can be completely described by the phase space. This is shown in figure 1. By performing this measurement for a large number of identical oscillators we get a probability distribution in the phase space (figure 2). This distribution can be normalized (the oscillator at a given time has to be somewhere) and the distribution must be non negative. So we have retrieved a function which gives a description of the chance of finding the particle at a given point with a given momentum. For quantum mechanical particles the same can be done. The only difference is that the Heisenberg's uncertainty principle mustn't be violated, meaning that we cannot measure the particle's momentum and position at the same time. The particle's momentum and its position are called quadratures (see Optical phase space for more information) in quantum related states. By measuring one of the quadratures of a large number of identical quantum states will give us a probability density corresponding to that particular quadrature. This is called the marginal distribution, or (see figure 3). In the following text we will see that this probability density is needed to characterize the particle's quantum state, which is the whole point of quantum tomography.

Для чего используется квантовая томография

Квантовая томография применяется к источнику систем для определения квантового состояния на выходе этого источника. В отличие от измерения на отдельной системе, которое устанавливает состояние системы после измерения (в общем случае, само измерение изменяет квантовое состояние), квантовая томография позволяет определить состояние (состояния) до проведения измерений. Квантовая томография может использоваться для характеризации оптических сигналов, включая измерение усиления и потерь сигнала в оптических устройствах, а также в квантовых вычислениях и квантовой теории информации для надежного определения фактических состояний кубитов. Можно представить ситуацию, в которой Боб готовит множество идентичных объектов (частиц или полей) в одном и том же квантовом состоянии, а затем передает их Алисе для измерения. Сомневаясь в описании состояния, данном Бобом, Алиса может захотеть провести квантовую томографию, чтобы самостоятельно классифицировать это состояние.

Проблемы с линейной инверсией

Одна из основных проблем при использовании линейной инверсии для восстановления матрицы плотности заключается в том, что полученное решение, как правило, не является корректной матрицей плотности. Например, оно может давать отрицательные вероятности или вероятности, превышающие единицу, для определенных исходов измерений. Эта проблема особенно актуальна при малом количестве измерений. Другая сложность заключается в том, что в бесконечномерных гильбертовых пространствах потребовалось бы бесконечное число исходов измерений. Внесение предположений о структуре и использование конечного базиса измерений приводят к появлению артефактов в распределении плотности в фазовом пространстве. Эти методы остаются активной областью исследований.

Квантовая измерительная томография

Можно представить ситуацию, в которой аппарат выполняет измерения над квантовыми системами, и необходимо определить, какое именно измерение требуется. Стратегия заключается в том, чтобы направлять в аппарат системы с различными известными состояниями и использовать эти состояния для оценки результатов неизвестного измерения. Также известная как "квантовая оценка", томографические методы становятся все более важными, включая томографию квантовых измерений и очень похожую томографию квантовых состояний. Поскольку любое измерение можно охарактеризовать набором POVM, целью является реконструкция характеризующего набора POVM. Самый простой подход – линейная инверсия. Используя линейность, как описано выше, можно решить обратную задачу. Неудивительно, что этот метод страдает от тех же проблем, что и томография квантовых состояний: а именно, нефизические результаты, в частности, отрицательные вероятности. В этом случае полученные операторы не будут являться допустимыми POVM, поскольку они не будут положительно определенными. Для ограничения операторов допустимыми физическими результатами можно использовать байесовские методы, а также метод максимального правдоподобия для оценки матрицы плотности.

Квантовая процессовая томография

Квантовая процессовая томография (КПТ) занимается идентификацией неизвестного квантового динамического процесса. Первый подход, предложенный в 1996 году и иногда называемый стандартной квантовой процессовой томографией (SQPT), включает в себя подготовку ансамбля квантовых состояний и пропуск их через данный процесс, а затем использование квантовой томографии состояния для определения результирующих состояний. Другие методы включают в себя томографию процесса с использованием вспомогательных кубитов (AAPT) и томографию процесса с использованием запутанности (EAPT), которые требуют дополнительной копии системы. Все перечисленные выше методы известны как косвенные методы характеризации квантовой динамики, поскольку для реконструкции процесса требуется использование квантовой томографии состояния. В отличие от них, существуют прямые методы, такие как прямая характеризация квантовой динамики (DCQD), которые обеспечивают полную характеризацию квантовых систем без какой-либо томографии состояния. Количество экспериментальных конфигураций (подготовка состояний и измерения), необходимых для полной квантовой процессной томографии, растет экспоненциально с увеличением числа частиц в системе. Следовательно, в общем случае, КПТ является невыполнимой задачей для квантовых систем большого масштаба. Однако, при условии слабой декогерентности, квантовая динамическая карта может быть представлена в разреженном виде. Метод компрессионной квантовой процессной томографии (CQPT) использует технику компрессионного зондирования и применяет предположение о разреженности для реконструкции квантовой динамической карты на основе неполного набора измерений или подготовленных пробных состояний.