Введение

Смещение выборки в астрономии и другие применения Мальмквиста

Смещение Мальмквиста – это эффект в наблюдательной астрономии, приводящий к преимущественному обнаружению объектов с высокой собственной светимостью. Впервые он был описан в 1922 году шведским астрономом Гуннаром Мальмквистом (1893–1982), который значительно расширил эту работу в 1925 году. В статистике это смещение называют смещением отбора или цензурированием данных. Оно влияет на результаты обзоров, ограниченных по яркости, где звёзды и галактики с яркостью ниже определённого видимого предела не могут быть включены. Поскольку наблюдаемые звёзды и галактики кажутся тусклее с увеличением расстояния, измеренная яркость уменьшается с расстоянием, пока не опустится ниже порога наблюдаемости. Объекты, обладающие большей светимостью, или изначально более яркие, могут быть наблюдаемы на больших расстояниях, создавая ложную тенденцию увеличения собственной светимости и других связанных величин с расстоянием. Этот эффект приводил ко многим ошибочным выводам в астрономии. Правильная коррекция этих эффектов стала важной областью исследований.

Величины и яркость

В повседневной жизни легко заметить, что свет тускнеет с увеличением расстояния. Это можно увидеть на примере автомобильных фар, свечей, фонариков и многих других светящихся объектов. Это затемнение подчиняется закону обратных квадратов, который гласит, что яркость объекта уменьшается пропорционально , где r – расстояние между наблюдателем и объектом. Звездный свет также подчиняется закону обратных квадратов. Световые лучи покидают звезду в равных количествах во всех направлениях. Эти лучи формируют сферу света, окружающую звезду. Со временем сфера расширяется по мере распространения световых лучей в пространстве от звезды. При этом количество световых лучей остается постоянным. Следовательно, количество света, приходящегося на единицу площади поверхности сферы (в астрономии это называется потоком), уменьшается с расстоянием и, соответственно, со временем. При наблюдении звезды можно зафиксировать только те световые лучи, которые попадают в область обзора. Именно поэтому звезда кажется тусклее, чем дальше она находится. Если есть две звезды с одинаковой собственной яркостью (в астрономии это называется светимостью), расположенные на разных расстояниях, то более близкая звезда будет казаться ярче, а более далекая – тусклее. В астрономии видимая яркость звезды или любого другого светящегося объекта называется видимой звездной величиной. Видимая звездная величина зависит от собственной яркости объекта (также называемой абсолютной звездной величиной) и его расстояния. Если бы все звезды имели одинаковую светимость, расстояние от Земли до конкретной звезды можно было бы легко определить. Однако звезды обладают широким диапазоном светимостей. Поэтому бывает сложно отличить очень яркую, но далекую звезду от менее яркой, но более близкой. Именно поэтому так трудно вычислить расстояния до астрономических объектов.

Источник предвзятости Малмквиста

Обычно, при наблюдении за участком звездного неба, можно увидеть только звезды, превосходящие предельную видимую звездную величину. Как обсуждалось выше, будут видны очень яркие звезды, находящиеся на большем расстоянии, а также яркие и слабые звезды, расположенные ближе к Земле. В пределах определенного расстояния от Земли будет наблюдаться больше ярких объектов, чем слабых. Однако, слабых звезд гораздо больше – их просто невозможно увидеть из-за их низкой яркости. Эта тенденция к наблюдению более ярких звезд влияет на вычисления средней абсолютной звездной величины и среднего расстояния до группы звезд. Из-за присутствия ярких звезд на больших расстояниях, может показаться, что наша выборка звезд находится дальше, чем есть на самом деле, и что каждая звезда обладает большей собственной яркостью, чем это есть на самом деле. Этот эффект известен как смещение Малмквиста.

Методы коррекции

В идеальной ситуации следует избегать попадания этой систематической ошибки в данные обследования. Однако, обследования, ограниченные по яркости, являются самыми простыми в реализации, а другие методы сложны в организации, сопряжены со своими собственными неопределенностями и могут быть невозможны при первых наблюдениях объектов. Поэтому существует множество различных методов, предназначенных для коррекции данных, устранения систематической ошибки и обеспечения пригодности обследования для использования. Методы представлены в порядке возрастания сложности, а также точности и эффективности.

Ограничение выборки

Самый простой метод коррекции — использовать только необъятые части набора данных, если таковые имеются, и отбросить остальную часть данных. В зависимости от выбранной предельной звездной величины, в наборе данных может существовать диапазон расстояний, в пределах которого можно наблюдать все объекты с любой возможной абсолютной звездной величиной. Следовательно, этот небольшой поднабор данных должен быть свободен от смещения Мальмквиста. Это легко достигается путем отсечения данных на границе, где объекты с наименьшей абсолютной звездной величиной достигают предельной звездной величины. К сожалению, этот метод приведет к потере большого количества полезных данных и ограничит анализ только близкими объектами, что делает его нежелательным. (Судя по рисунку справа, можно сохранить только первые 20% данных по расстоянию, прежде чем точка данных будет потеряна из-за смещения.) Разумеется, этот метод предполагает, что расстояния известны с относительно высокой точностью, что, как уже упоминалось, является сложной задачей в астрономии.

Традиционная коррекция

Первое решение, предложенное Мальмквистом в его работе 1922 года, заключалось в корректировке рассчитанной средней абсолютной звездной величины выборки до истинной средней абсолютной звездной величины (M0). Предполагается отсутствие межзвездного поглощения, или что вещество в пространстве между звездами (такое как газ и пыль) не влияет на свет, поглощая его часть. Это исходит из того, что яркость подчиняется закону обратных квадратов, упомянутому выше. Функция светимости (Φ) не зависит от расстояния (r). По сути, это означает, что Вселенная однородна, и распределение звезд в других областях будет аналогичным распределению здесь. Для заданной области на небе, или, точнее, для небесной сферы, пространственная плотность звезд (ρ) зависит только от расстояния. Это предполагает, что в среднем количество звезд одинаково во всех направлениях. Выборка является полной, то есть в ней учтены все звезды до определенного предела видимой звездной величины (mlim). Функция светимости может быть аппроксимирована гауссовой функцией с центром в средней абсолютной звездной величине M0. Звезды имеют один и тот же спектральный тип, с внутренней средней абсолютной звездной величиной M0 и дисперсией σ. Очевидно, это очень идеализированная ситуация, причем последнее предположение особенно проблематично, но позволяет выполнить приблизительную коррекцию в простой форме. Интегрируя функцию светимости по всем расстояниям и по всем величинам ярче mlim,

Вага объема

Другой достаточно простой метод коррекции – использование средневзвешенной величины для корректного учета относительного вклада на каждой звездной величине. Поскольку объекты с разными абсолютными величинами видны на разных расстояниях, вклад каждой точки в среднюю абсолютную величину или в функцию светимости можно взвесить как 1/Vmax, где Vmax – максимальный объем, в пределах которого объекты могли быть обнаружены. Более яркие объекты (то есть объекты с меньшими абсолютными величинами) имеют больший объем, в котором они могли быть зарегистрированы до достижения предельной величины, и, следовательно, получают меньший вес при использовании этого метода, поскольку такие яркие объекты более полно представлены в выборке. Максимальный объем можно приближенно оценить как сферу, радиус которой определяется по модулю расстояния, используя абсолютную величину объекта и предельную видимую величину. Однако при вычислении Vmax возникают две основные сложности. Первая – это полнота области обзора, то есть процент неба, из которого были получены данные об объектах. Значительным недостатком метода взвешивания по объему является его чувствительность к крупномасштабным структурам, или областям Вселенной с большей или меньшей плотностью объектов, чем в среднем, например, к звездным скоплениям или пустотам. Наличие сильно переуплотненных или недостаточно плотных областей объектов приводит к искажению оценки средней абсолютной величины и функции светимости в соответствии со структурой. Это особенно актуально для слабых объектов при расчете функции светимости, поскольку их меньший максимальный объем означает, что крупномасштабная структура оказывает на них существенное влияние. Яркие объекты с большими максимальными объемами, как правило, усредняются и приближаются к правильному значению, несмотря на наличие некоторых крупномасштабных структур.

Передовые методы

Существует множество других методов, которые становятся всё более сложными и эффективными в использовании. Некоторые из наиболее распространённых представлены здесь в кратком изложении, а более подробная информация содержится в указанных источниках.

Пошаговый метод максимальной вероятности

Этот метод основан на функциях распределения объектов (таких как звезды или галактики), представляющих собой зависимость между количеством объектов и их определенными характеристиками, такими как светимость, расстояния или другие фундаментальные величины. Каждая из этих характеристик имеет свою функцию распределения, которую можно комбинировать с генератором случайных чисел для создания теоретической выборки звезд. В данном методе функция распределения расстояний считается известной и фиксированной, в то время как функция распределения абсолютных звездных величин может изменяться. Это позволяет сравнивать различные функции распределения абсолютных звездных величин с фактическим распределением обнаруженных объектов и находить такое соотношение, которое обеспечивает максимальную вероятность воспроизведения исходного набора объектов. Начиная с обнаруженного, искаженного распределения объектов и соответствующих порогов обнаружения, метод позволяет восстановить истинную функцию распределения. Однако данный метод требует значительных вычислительных ресурсов и обычно реализуется с использованием компьютерных программ.

Оценщики Шектера

Пол Шехтер обнаружил очень интересную зависимость между логарифмом ширины спектральной линии и её видимой звёздной величиной при работе с галактиками. Например, при работе с широко используемой 21-сантиметровой линией, важной для изучения нейтрального водорода, эта зависимость обычно калибруется методом линейной регрессии и имеет вид

где P — это log(ширина линии), а α и β — константы. Этот метод оценки полезен тем, что обратная регрессионная прямая фактически не подвержена влиянию смещения Малмквиста, при условии, что эффекты отбора основаны исключительно на звёздной величине. Следовательно, математическое ожидание P при заданном M будет несмещённым и позволит получить несмещённую оценку логарифма расстояния. Этот оценщик обладает множеством свойств и следствий, которые могут сделать его очень полезным инструментом.

Сложные математические отношения

В литературе можно найти расширенные версии традиционной коррекции, упомянутой выше, которые ограничивают или изменяют исходные предположения в соответствии с потребностями конкретного исследователя. Зачастую эти методы приводят к очень сложным математическим выражениям, обладающим высокой, но узконаправленной применимостью. Например, в работе Лури и др. была установлена зависимость для систематической погрешности при оценке яркости звезд в галактике, связывающая коррекцию с дисперсией выборки, видимой и абсолютной звездными величинами, а также с высотой над плоскостью галактики. Это позволило получить значительно более точный результат, однако потребовало предположения о пространственном распределении звезд в рассматриваемой галактике. Несмотря на свою полезность в отдельных случаях, и наличие множества опубликованных примеров, такие методы имеют ограниченную область применения и, как правило, не столь универсальны, как другие подходы, описанные выше.

Приложения

При использовании выборки, ограниченной по светимости, необходимо использовать один из описанных выше методов для коррекции искажения Мальмквиста. Например, при попытке получить функцию светимости, откалибровать соотношение Тулли-Фишера или определить значение постоянной Хаббла, искажение Мальмквиста может существенно повлиять на результаты. Функция светимости показывает количество звёзд или галактик в каждом интервале светимости или абсолютной звёздной величины. При использовании выборки, ограниченной по светимости, количество слабых объектов занижается, как обсуждалось выше. Это смещает пик функции светимости от области слабых светимостей к области более ярких светимостей и изменяет её форму. Обычно для коррекции искажения Мальмквиста используется метод взвешивания по объёму, чтобы обследование стало эквивалентным обследованию, ограниченному по расстоянию, а не по светимости. На рисунке справа представлены две функции светимости для модельной популяции звёзд, ограниченной по светимости. Штриховая функция светимости демонстрирует влияние искажения Мальмквиста, а сплошная линия – скорректированную функцию светимости. Искажение Мальмквиста значительно изменяет форму функции светимости. Другой областью применения, подверженной влиянию искажения Мальмквиста, является соотношение Тулли-Фишера, которое связывает светимость спиральных галактик с их шириной линий. Если для калибровки соотношения Тулли-Фишера используется близкое скопление галактик, а затем это соотношение применяется к далёкому скоплению, расстояние до более далёкого скопления будет систематически занижено. Другим распространённым проявлением этого эффекта является перепредставление объектов с низкой абсолютной звёздной величиной в выборках, ограниченных по светимости. В выборке с пределом светимости существует погрешность вблизи этого предела, когда объекты, которые должны быть достаточно яркими для включения в выборку, исключаются, а объекты, немного более слабые, наоборот, включаются. Поскольку объектов с низкой абсолютной звёздной величиной больше, чем ярких, и поскольку эти более слабые галактики с большей вероятностью окажутся ниже порога отбора и будут включены в выборку, а более яркие – выше порога и будут исключены, происходит перепредставление объектов с низкой светимостью. Однако в современной литературе и в общепринятом понимании искажение Мальмквиста относится к описанному выше эффекту.